Modelamiento sistemas 1 y 2 orden , no lineales (simulado matlab ode)

Profesor: Leonado Solaque

1

Objetivo

Mediante la practica se recordara varias formas de realizar el modelado (NewtonEuler y Euler-Lagrange) de sistemas mecatrónicos y de esta mejorar en la utilización de ecuaciones diferenciales , funciones de transferencia, ecuaciones de estado y energías. Se desarrollara el modelo de los 6 sistemas por medio de Newton-Euler (1-5) encontrando susfunción de transferencia ,de espacio estado y dos por medio de Euler-lagrange(3&6) y se simularan mediante matlab.

2
•

Soporte teórico para la práctica
Newton-Euler:esta basado en la segunda ley de Newton, es un método iterativo. Se propagan aceleraciones y torques por los distintos elementos del robot (balance de fuerzas y/o torques).

•

Sistemas mecánicos:

F = ma τ = Jα •
Sistemaseléctricos:

(1)

(2)

V = IR I=0 V =0 •
Sistemas térmicos:

(3) (4)

(5)

Q = CT

dθ dt

(6)

1

•

Sistemas hidráulicos:

Q = CH

dH dt

(7)

Euler-Lagrange:Es un método cerrado. Resulta de la diferencia de las energías cinéticas y potenciales de todas las juntas (balance de energía).

•

Energia cinética :

K= •
Energia potencial:

1 mv 2 2 1 mkx2 2

(8)U = mgh||U = • •
Lagrangiano :

(9)

L=K −U
Ecuación de Lagrange :

(10)

d ∂L ∂L − = dt ∂ q ˙ ∂q

Fext

(11)

3
1)

Diseño

Figura 1: modelo1

planteamiento de Ecuaciones Diferenciales:

ml ∗ x1 + b ∗ x1 + (k1 + k2) ∗ x1 = b ∗ x2 + k2 ∗ x2 ¨ ˙ ˙ m2 ∗ x2 + b ∗ x2 + k2 ∗ x2 = b ∗ x1 + k2 ∗ x1 ¨ ˙ ˙
de Espacio Estado:

(12)

(13)

Tomando como variables de estadox1,x1,x2,x2 se obtiene la siguiente matriz



2

A=

  
B=

0
−k2 −k1 m1

1
b − m1

0
k2 m1

0
b m1

  

0

0

0

1

k2 m2

b m2

k − m22

b − m2

 0  0    0 
1 m2

C=

(0 0
D= 0

1

0)

Cuadro 1: matrices modelo1 siendo

x = Ax + BF ˙
y

(14)

y = C ∗ x + DF

(15)

Con el código algoritmo1:anexo1 que es el resultado deC ∗ ((S − A)−1 ) ∗ B
Obtenemos la función de transferencia :

(16)

m1 s2 +b s+k2 +k1 m1 m2 s4 +(b m2 +b m1 ) s3 +((k2 +k1 ) m2 +k2 m1 ) s2 +b k1 s+k1 k2
(17)

simulando el sistema mediante algoritmo5:anexosim1(ver después conclusiones) obtenemos la siguiente gráca:

3

Figura 2: simulacion1

2)

Figura 3: modelo2

planteamiento de Ecuaciones Diferenciales :

˙ L1 ∗ I1 = R ∗(Is − I1) + Rx ∗ (Is − I1 − I2) ˙ L2 ∗ I2 = Rx(Is − I1 − I2)
Espacio Estado:

(18)

(19)

Tomando como variables de estado I1,I2, se obtiene la siguiente matriz de

4

A=

−R−Rx L1 − Rx l2

− Rx L1 − Rx l2

B=

R+Rx l1 Rx l2

C=

(0 1)
D= 0

Cuadro 2: matices modelo1 y igual que el anterior modelo utilizando las ecuaciones (3) y (4).

mediante el algoritmo2:anexo2 queutiliza también la ecuación (5) obtenemos la función de transferencia:

l1 2 rx s+(l1 −l2 ) rx 2 +(l1 −l2 ) r rx l1 2 l2 s2 +((l1 l2 +l1 2 ) rx +l1 l2 r) s+(l1 −l2 ) rx 2 +l1 r rx
(20) una simulación (ver algoritmo6:anexosin2) de este sistema seria:

Figura 4: simulacion2

3)

5

Figura 5: modelo3

Euler-lagrange: Energía cinética:

K=

1 1 m1(x2 ) + m2(x2 + 2 ∗ x ∗ L ∗ cos(θ) +θ2 L2 ) ˙ ˙ ˙ 2 2

Energia Potencial:

U=

1 ∗ k ∗ (x2 ) + m ∗ g ∗ L ∗ (1 − cos(θ)) 2

mediante la ecuación de lagrange

∂L ˙ = m1 ∗ x + m2 ∗ x + m2 ∗ θ ∗ L ∗ cos(θ) ˙ ˙ ∂x ˙ d ∂L ¨ ˙ = m1 ∗ x + m2 ∗ x + m2(θ ∗ L ∗ cos(θ) − θ2 ∗ L ∗ sen(θ)) ¨ ¨ dt ∂ x ˙ ∂L = −k ∗ x ∂x

¨ ˙ m1 ∗ x + m2 ∗ x + m2(θ ∗ L ∗ cos(θ) − θ2 ∗ L ∗ sen(θ)) + k ∗ x = 0 ¨ ¨ ∂L ˙ = m2 ∗ x ∗ L ∗ cos(θ) + m2 ∗ θ ∗ L ˙˙ ∂θ
6

(21)

d ∂L ¨ = m2 ∗ θ + m2(¨ ∗ L ∗ cos(θ) − x ∗ θ ∗ L ∗ sen(θ)) x ˙ ˙ ˙ dt ∂ θ ∂L = −m2 ∗ x ∗ θ ∗ L ∗ sen(θ) − m2 ∗ g ∗ h ∗ L ∗ sen(θ) ˙ ˙ ∂θ

¨ m2∗θ+m2(¨∗L∗cos(θ)−x∗θ∗L∗sen(θ)+m2∗x∗θ∗L∗sen(θ)+m2∗g∗h∗L∗sen(θ) = 0 x ˙ ˙ ˙ ˙
(22) Simulacion (ver algoritmo7:anexosin3):

Figura 6: simulacion3(salida x,salida

θ)

4)

7

Figura 7: modelo4

por Newton- Euler:

(e1 −...