Modelo De Solow

1 I. El modelo de crecimiento económico de Solow
A. Cuestiones típicas que queremos contestar.
1. ¿Cuáles son los factores que explican el crecimiento económico? 2. ¿Por qué crecen más rápido algunos países que otros?

B. El Modelo Formal
1. Los supuestos

a) Hay una función de producción al momento t con cuatro variables Y (t ) = F [K (t ), A(t )L(t )]
(1) La producción agregada Y(t) (2)El capital agregado K(t) (3) El trabajo agregado L(t) (4) La tecnología o eficacia de trabajo A(t) (5) Obsérvense
(a) Que cada variable es una función de tiempo pero el tiempo no afecta directamente la función. (Para producir el vino, por ejemplo, el jugo de uva tiene que permanecer en los barriles por un tiempo específico. En este caso tiempo afecta directamente la función de producción). Asípara simplificar la notación eliminamos el t en la discusión del modelo. (b) AL es trabajo efectivo. Un aumento de la tecnología aumenta la productividad de cada trabajador. Se denomina neutral en el sentido de Harrod.

b) Las características de la función de producción
(1) Los productos marginales son positivos y decrientes
(a) FK ( K , AL) > 0 (b) FL ( K , AL) > 0 (c) FKK ( K , AL) < 0

2(d) FLL ( K , AL) < 0

(2) Satisface las condiciones de Inada
(a) lim FK ( K , AL) = ∞
K →0

(b) lim FL ( K , AL) = ∞
L →0

(c) lim FK ( K , AL) = 0
K →∞

(d) lim FL ( K , AL) = 0
L →∞

(3) Rendimientos constantes de escala. Dado este supuesto podemos trabajar con la función de producción intensiva, es decir por unidad de trabajo efectivo. (4)
Y ⎛ K ⎞ = F⎜ ,1⎟ = y = f (k ) Lafunción indica que AL ⎝ AL ⎠

la producción agregada por unidad de trabajo efectivo depende de la cantidad de capital por unidad de trabajo efectivo. (5) Características de la forma intensiva de la función
(a) f (0) = 0 (b) f ' ( k ) > 0 La primera derivada es positiva (igual al producto marginal de capital, FK) (c) f ' ' (k ) < 0 La segunda derivada es negativa (d) Las condiciones de Inada

(i)lim f ' (k ) = ∞
k →0

(ii) lim f ' (k ) = 0
k →∞

3

La forma intensiva-Función de producción por unidad de trabajo efectivo
y f(k)

0

k

c) La evolución de los factores de producción y la tecnología
(1) Notación
(a) t significa el tiempo. Consideramos al tiempo como una variable continua en este modelo (b) Si tenemos una variable X(t), se expresa la derivada con respectotiempo como

dX (t ) & = X (t ) dt

(c) Si X crece a la tasa constante, x, podemos & escribir X (t ) = xX (t ) (d) O podemos escribir la tasa, x, como donde

& X (t ) =x X (t )

& d ln X (t ) X (t ) = =x dt X (t )

(2) La cantidad de trabajo, L, crece a una tasa constante, n. Esta tasa es exógena.
(a)

& L(t ) = n La expresión es una ecuación L(t )

diferencial

4
(b) Parasolucionar, tomamos la integral con respecto a t de ambos lados

∫

& L(t ) dt = ∫ ndt = ln L(t ) = nt + Z Z es una L(t )

constante. (c) Finalmente tomamos el antilogaritmo de la expresión. Así L(t ) = e nt e Z (d) Supongamos que 0 es el periodo inicial entonces

L(0) = e n0 e Z = e Z
(e) Substituimos por L(0) en lugar de eZ y obtenemos L(t ) = L(0)e nt

(3) La cantidad de tecnología, A, crece auna tasa constante, g. Esta tasa es exógena.
(a)

& A(t ) =g A(t )

(b) Supongamos que la condición inicial (en tiempo 0) de tecnología, la cantidad inicial, es A(0). A(0) es dado. (c) Solucionamos como lo hicimos en el caso de L(t) para obtener ∫

& A(t ) dt = ∫ gdt ⇒ A(t ) = A(0)e gt A(t )

(4) La cantidad de capital es endógena
(a) El modelo no tiene sector externo (es una economíacerrada) ni gobierno. Así hay dos usos de la producción, consumo o inversión. (b) Dos tasas importantes.

(i) La tasa de ahorro, s, (inversión) es exógena. 0 0 Obsérvense en la

gráfica que sf(k) es arriba de k(δ+g+n). Así, k aumenta, es decir cuando k < k* hay movimiento en la dirección de las flechas en el diagrama de fase, en la dirección de k*. (b) k > k* significa que

& k = sf (k ) −...