modelo exponencial

Modelo exponencial
ClassPad 330

Prof. Jean-Pierre Marcaillou

INTRODUCCIÓN
La calculadora CASIO ClassPad 330 dispone de la Aplicación Principal para realizar los cálculos correspondientes
al modelo exponencial. El material presentado a continuación reposa sobre el Capítulo 5.- Modelación probabilística:
parte I del libro “Probabilidad: Elementos para modelar situaciones conincertidumbre” Edgar Elías Osuna (obra
actualmente en prensa Ediciones IESA).
CONCEPTOS, SIMBOLOGÍA Y FÓRMULAS
Experimento aleatorio  : Es un proceso que genera resultados bien definidos.
Espacio descriptivo S: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio  .
Evento: Cualquier subconjunto del espacio descriptivo S.
Variable aleatoria: Es una función X(a) que asigna un númeroreal x(a) a cada elemento a de S; es decir, es una
función que toma valores en un espacio de probabilidades S. En general, las variables aleatorias se representan por
las últimas letras del alfabeto, en mayúsculas, mientras que las minúsculas se reservan para el valor que toma la
variable aleatoria.
Clasificación
 Variable aleatoria discreta: Es aquella cuando el conjunto de llegada esfinito o infinito numerable.
 Variable aleatoria continua: Es aquella cuando el conjunto de llegada es infinito no numerable.
Recorrido RX: Es el conjunto de valores reales que puede tomar la función X(a).
Funciones que definen el comportamiento de una variable aleatoria unidimensional discreta:
 Función de masa de probabilidades: Sean x1, x2, x3,..., xn los valores que puede tomar la variablealeatoria
X. Se define la función de probabilidad de la variable aleatoria X como p( xi )  P( X  xi ) (i  1,2,3,...,n) .
Propiedades:
1) 0  p(xi )  1
n

2)  p(xi )  1
i1

3) P(a  X  b ) 



i:a xi b

p( xi )

 Función de distribución acumulativa: F( x )  P( X  x )   p( xi )
i:xi  x

Propiedades:
1) 0  F( x )  1 para todo x.
2) F(x) es no decreciente
13) lim F( x )  1
x 

4) lim F( x )  0
x 

5) Si a  b, P(a  X  b)  F(b)  F(a)
Funciones que definen el comportamiento de una variable aleatoria unidimensional discreta:
 Función de densidad de una variable aleatoria continua: Es una función f(x) tal que
a) f ( x )  0


b)  f ( x )dx  1


b

c) Para a  b, P(a  X  b )   f ( x )dx
a
x

 Función dedistribución acumulativa: F( x )  P( X  x )   f ( x )dx


Propiedades:
1) dF( x ) / dx  f ( x )
2) F(x) es no decreciente
3) lim F( x )  1
x 

4) lim F( x )  0
x 

5) Si a  b, P(a  X  b)  F(b)  F(a)
Esperanza matemática E(X): La esperanza matemática de una variable aleatoria X se define como:
 Variable aleatoria discreta: E ( X ) 

 xi p( xi )
i


 Variablealeatoria continua: E ( X ) 

 xf ( x )dx



Propiedades de la esperanza matemática:
1) Si X  C , siendo C una constante, E( X )  C
2) Si C es una constante, E(CX )  CE( X )
3)

E H1( X )  H2 ( X )  ...  Hn ( X )  E H1( X )  E H2 ( X )  ...  E Hn ( X )

4) Para A y B constantes, E( AX  B)  AE( X )  B
5) Desigualdad de Jensen: Si H(X) es una función convexa ysi E(X) existe, E H( X )  H E( X )


6) Interpretación geométrica: E ( X ) 

0

0



 1  F ( X ) dx   F ( X )dx
2

Varianza V(X): La varianza de una variable aleatoria X, se define como la esperanza matemática del cuadrado de su
desviación con respecto a la media, es decir, V ( X )  E
 Variable aleatoria discreta: V ( X ) 

 X  E( X )   E( X
2

2

) E ( X )

2

  xi  E( X )2 p( xi )
i



 Variable aleatoria continua: V ( X ) 

  x  E( X ) f ( x )dx
2



Propiedades de la varianza:
1) Si X  C , siendo C una constante, V ( X )  0
2) Si C es una constante, V ( X  C )  V ( X )
3) Si C es una constante, V (CX )  C 2V ( X )
4) Para A y B constantes, V ( AX  B)  A2V ( X )
Desviación estándar  : La...