Movimiento Oscilatorio

1. MOVIMIENTO OSCILATORIO
1.1 Movimiento armónico
Uno de los movimientos más importantes observados en la naturaleza es el movimiento oscilatorio. Una partícula oscila cuando se mueve periódicamente con respecto a la posición de equilibrio tal y como ocurre por ejemplo en los péndulos, en masas sujetas a muelles ó a átomos y electrones en los sólidos. De todos los movimientos oscilatorios elmás importante es el movimiento armónico que constituye una aproximación muy cercana a muchas de las oscilaciones encontradas en la naturaleza. Consideremos una masa m en una posición de equilibrio y sujeta a una fuerza de recuperación proporcional al desplazamiento x del equilibrio y opuesta a él según la ecuación F= -kx [1.1]

donde k es la denominada constante de fuerza. La energía potencial Uasociada a esta fuerza conservativa viene dada por F= -gradU. U=
1 2 kx 2

[1.2]

Suponiendo que no actua ninguna otra fuerza sobre el cuerpo, y aplicando la segunda ley de Newton (F= m.a) obtendremos la ecuación diferencial del movimiento
2 m d x + kx = 0 dt 2

[1.3]

que describe un oscilador armónico simple. Tal y como veremos el movimiento es una oscilación sinusoidal alrededor de laposición de equilibrio. En todos los casos físicos existe alguna fuerza de rozamiento que generalmente se considera proporcional a la velocidad quedando la ecuación diferencial de movimiento

m

d 2x dx + b + kx = 0 2 dt dt

[1.4]

que describe un oscilador armónico amortiguado consistente en una oscilación sinusoidal cuya amplitud decrece gradualmente con el tiempo. Cuando adicionalmenteel oscilador está sometido a una fuerza externa tenemos un oscilador armónico forzado y su movimiento vendrá dado por la ecuación diferencial
1-1

m

d 2x dx + b + kx = F (t ) 2 dt dt

[1.5]

Si F(t) es una fuerza que varía sinusoidalmente, la ecuación [1.5] conduce al fenómeno de la resonancia para el cual la amplitud de la oscilación llega a hacerse muy grande cuando la frecuencia dela fuerza aplicada coincide con la frecuencia natural del oscilador libre.

1.2 Oscilador armónico simple
Consideremos la ecuación diferencial del movimiento armónico simple (MAS) [1.3]
2 m d x + kx = 0 dt 2

[1.6]

La solución de esta ecuación diferencial de 2º orden es

x = Ae i( wt +δ ) = A cos(wt + δ ) + iAsen( wt + δ )

[1.7]

donde tanto la parte real como la imaginaria sonsolución de la ecuación [1.6]. Quedándonos con la parte real como solución tenemos que el MAS viene dado por

x = A cos(wt + δ )

[1.8]

Figura 1.1. Movimiento armónico simple

movimiento representado en la figura 1.1, donde A es la amplitud del movimiento, desplazamiento máximo respecto a la posición de equilibrio, y δ la constante de fase, ambas constantes determinadas por las condicionesiniciales de posición y velocidad. La cantidad (wt+δ) recibe el nombre de fase del movimiento. La función coseno se repite cada vez que el ángulo aumenta en 2π. Por consiguiente el desplazamiento de la partícula se repite después de un intervalo de tiempo 2π/w.

1-2

Luego el MAS es periódico y su periodo, tiempo empleado para realizar una oscilación completa alrededor de la posición deequilibrio, es T= 2π/w. La frecuencia f de un MAS, número de oscilaciones por segundo, es igual al recíproco del periodo f= w/2π y se mide en s-1 unidad denominada Herzio (Hz). Finalmente w recibe el nombre de frecuencia angular y se mide en radianes s-1. La velocidad del cuerpo sometido a un MAS se deduce de la ecuación
v= dx = − Awsen( wt + δ ) dt

[1.9]

y la aceleración
a= d 2x = − w 2 A cos(wt + δ ) = − w 2 x dt 2

[1.10]

Comparando esta ecuación con la [1.6] llegamos a que la frecuencia angular de un MAS toma un valor igual a
w= k m

[1.11]

aumentando cuando se incrementa la constante k, se incrementa la fuerza de recuperación, ó cuando disminuye la masa m del cuerpo. En un MAS, la frecuencia angular w, y por tanto la f y el T, son independientes de la amplitud A. La...