nucleo e imagen en una trasformacion lineal

 
Núcleo e Imagen en una Transformación Lineal.



En este apartado desarrollaremos algunas propiedades  básicas de las transformaciones lineales.




Teorema 1. Sea T: V  W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1, v2,….vn en V y todos los escalares


 Nota:  en la parte i el 0 de la izquierda es el vector cero en v; mientras que el cero de la derechaes el vector cero en W.

i. T(0) = T(0 + 0)= T(0) + T(0). Así 0= T(0) – T(0) = T(0) + t(0) – T(0) = T(0)
ii.T(u-v) = T[u + (-1)v] = Tu + T[(-1)v] = Tu + (-1)Tv = Tu – Tv.

iii.Esta parte se prueba por inducción (vea el apéndice 1). Para n = 2 se tiene T(α1v1 + α2v2) = T (α1v1) + T(α2v2) = α1Tv1 + α2Tv2. Así, la ecuación (1) se cumple para n = 2. Se supone que se cumple para n = k y se pruebapara n=k + 1: T(α1v1 + α2v2+ ….+ αkvk+αk+1vk-1 ) = T(α1v1 + α2v2+….+αkvk) + T(αk+1vk+1), y usando la ecuación en la parte iii para n= k, esto es igual a (α1Tv1 + α2Tv2+….αkTvk) + αk+1Tvk+1, que es lo que se quería demostrar.


Observación. Los incisos i) y ii) del teorema 1 son casos especiales del inciso iii). Un dato importante sobre las transformaciones lineales es que están completamentedeterminadas por el efecto sobre los vectores de la base.










Teorema 2.     
Sea v un espacio vectorial de dimensión finita con base B= {v1,v2,….vn}. Sean w1,w2,….wn vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V en W tales que T1vi = T2vi = wi para i = 1, 2,…,n. Entonces para cualquier vector v ϵ v, T 1v = T2v; es decir T1 = T2.

Como B es una basepara V, existe un conjunto único de escalares α1, α2,…., αn. Tales que  v = α1v1 + α2v2 + …+ αn vn. 

Entonces, del inciso iii) del teorema 1, T1v = T1(α1 v1 + α2v2 + …+ αnvn) = α1T2v1 + α2T2v2 +… + αnTnvn= α1w1 + α2w2 +…+ αnTnvn

De manera similar T2v = T2(α1v1 + α2v2 + …+ αnvn)  = α1T2v1 + α2T2v2 +…+ αnTnvn                                            = α1w1 + α2w2 +…+ αnvn

Por lo tanto,T1v =T2v.

El teorema 2 indica que si T:v W y V tiene dimensión finita, entonces sólo es necesario conocer el efecto que tiene T sobre los vectores de la base en V. Esto es, si se conoce la imagen de cada vector básico, se puede determinar la imagen de cualquier vector en V. Esto determina T por completo. Para ver esto, sean v1, v2,….vn una base en V y sea v otro vector en V. Entonces, igual queen l aprueba del teorema 2, Tv = α1Tv1 + α2Tv2 +…+ αnTvn

Así, se puede calcular Tv para cualquier vector vϵ V si se conocen Tv1,Tv2,….Tvn

Ejemplo 1
Si se conoce el efecto de una transformación lineal sobre los vectores de la base, se conoce el efecto sobre cualquier otro vector.

Sea T una transformación lineal de R3 en R2 y suponga que




Solución. Se tiene







 EntoncesTendremos otra pregunta; si w1,w2,….,wn son n vectores en W,
¿existe una transformación lineal T tal que Tv1 = w1 para i = 1,2,…,n?
La respuesta es sí.



































Núcleo e imagen de una transformación lineal

Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V W una transformación lineal. Entonces

1. NÚCLEO
Sea L:->W unatransformación lineal, entonces el núcleo de L, notado por N(L), es el subconjunto de V, que contiene todos los elementos v Є V, tales que sus imágenes son iguales a cero. Así: N(L)={v є V/L(v)= 0 є W}

i . El núcleo de T, denotado por un, está dado por

TEOREMA
Sea L:V->W una transformación lineal, entonces se cumple que: El núcleo de L es un subes pació vectorial de V.

2.-Imagen
Sea L: V  Wuna transformación lineal, entonces la imagen de L , notada por Im (L), es el subconjunto de W , que contiene todos los elementos w ϵ W, que son imágenes de vectores v ϵ V debidas a la transformación L. Así: Im(L)= {w ϵ W /Ǝ v ϵ V, L(v)= w} A la imagen de L se le llama también rango o recorrido de L .

ii. La imagen de T, denotado por Im T, esta dado por

Observacion 1. Observe que un T es...