Numeros Naturales (Resumen)

NÚMEROS NATURALES
. D. 0 p C

Llamaremos conjunto inductivo a cualquier conjunto 0 que cumple con:

E. [  0 ´ [  1  0 Llamaremos números naturales al menor conjunto inductivo, es decir, N es un conjunto que posee sucesor y además tiene un comienzo que llamaremos 1.

INDUCCIÓN

Si queremos probar una propiedad S en todos los números naturales ŸN , un metódo útil es la inducción queconsiste en probar dos cosas: 3ULPHUR: SŸQ  (para algún Q) en caso que se pruebe para todo N; Q  1 6HJXQGR: probar que N  N si SŸN  se verifica, entonces SŸN  1  tambien. ŸN  N : SŸN  ´ SŸN  1   2EVHUYDFLyQHV: . En la segunda etapa se debe suponer cierto SŸN  (hipotésis) y se quiere probar SŸN  1  (tésis). Para probar la tésis es necesario ocupar de algún modo la hipótesis. (MHPSOR. QŸQ 1  ; Q  N. Pruebe la propiedad SŸQ : 1  2  3  ...Q  2 6ROXFLyQ. SŸ1  : 1  1Ÿ1  1  2 . Para probar una propiedad general SŸQ  es siempre imprescindible probar las dos etapas.

. PD: SŸ1 

. Sea N  N tal que SŸN  es verdad NŸN  1  Ÿ+LSRWHVLV  2 ŸN  1 ŸŸN  1   1  SŸN  1  : 1  2  ...  N  ŸN  1   Ÿ7HVLV  2 En efecto, podemos ver que: NŸN  1  1  2  3  ...  N  ŸN  1  N1 2 N 2  N  2ŸN  1   2 2  N  3N  2 2 ŸN  1 ŸN  2   2 D SŸN  1  se cumple D SŸN  ® SŸN  1  DPor pasos 1y 2 SŸN  es verdad N  N. (MHUFLFLRV SDUD HO DOXPQR: Pruebe por inducción lo siguiente, para todo Q  N: SŸN  : 1  2  ...  N  PD: SŸN  1 

D SŸ1  se cumple

QŸQ  1 Ÿ2Q  1  6 QŸQ  1  2 E. 1 3  2 3  3 3  ...  Q 3  2 2 F. 1  3  5  ...  Ÿ2Q " 1   Q Q G. 1  3  9 27  ...  3 Q"1  3 " 1 2 (MHUFLFLRV: D. 1 2  2 2  3 2  ...  Q 2 


. Pruebe las siguientes propiedades Q  N. E. 7 Q " 4 Q  3 F. 2 Q u 2Q

D. Q 2  Q  2 2 múltiplo de 2 ó divisible por 2.

. Determinar el valor de P  N a partir del cual 3 Q  3ŸQ  1 . 6ROXFLRQHV: .D. Por ver SŸ1  verdadero. SŸ1  v 1 2  1  2  2Ÿ1  D SŸ1  es verdad. Sea Q  N tal que SŸQ  es verdad. Q 2 Q  2] ]  Z PD: SŸQ  1  : ŸQ  1  2  ŸQ  1   2. Por cierto:  Q 2  Q  2ŸQ  1   2]  2ŸQ  1   2Ÿ]  Q  1  2

ŸQ  1  2  ŸQ  1   Q 2  2Q  1  Q  1

.E. SŸQ  : 7 Q " 4 Q  3 PD: SŸ1  verdad. SŸ1  : 7 " 4  3  3Ÿ1  D SŸ1  es verdad. Sea Q  N tal que SŸQ  es verdad PD: SŸQ  1  : 7 Q1 " 4 Q1  3 es verdad.

7 Q1 " 4 Q1  7  7 Q " 4  4 Q  Ÿ3  4   7 Q " 4  4 Q  3 7Q  4  7Q " 4  4Q  3  7Q  4  3  3  7 Q  4  Ÿ7 Q " 4 Q    3  Ÿ7 Q  4 

.F. SŸQ  : 2 Q u 2Q PD: SŸ1  verdad. SŸ1  v 2 u 2 D SŸ1  es verdad.

3

Sea Q  N tal que 2 Q u 2Q es verdad PD: 2 Q1 u 2ŸQ  1 

2 Q1 u 2  2 Q u 2  2Q u 2Q  2 u 2Q  2Q

D SŸQ  1  es verdadero D SŸQ  ´ SŸQ  1  D SŸQ  es verdadero Q  N. . SŸQ  : 3 Q  3ŸQ  1  PD. SŸQ  verdero para algún Q N. SŸ1  : 3 1  3Ÿ1  1  es falso. SŸ2  : 3 2  3Ÿ2  1  es falso SŸ3  : 3 3  3Ÿ3  1  es verdadero. D SŸ3  es verdadero. Sea Q  N; Q u 3 tal que SŸQ  es verdad. PD: SŸQ  1  : 3 Q1  3ŸQ  2 

3 Q1 u 3  3 Q

D SŸQ  1  es verdadero D SŸQ  ´ SŸQ  1  D SŸQ  es verdadero ŸQ u 3   N.

 3ŸQ  2 

 Ÿ3Q  6 

 ¡Ÿ3Q  6   Ÿ6Q  3 ¢

 9Q  9

 3  3ŸQ  1 

Llamaremossucesión a un conjunto ordenados de terminos A  £D 1 , D 2 , T, D Q , T¤ de modo que se pueda establecer una función biyectiva entre entre el conjunto $ y N I: N ¯ 1„ A 2„ B B D1 D2 B

PROGRESIONES.

Q„

DQ

B

A la sucesión la llamaremos sucesión real si los valores son reales analogamente hablaremos de sucesión racional, entera o natural. En particular nos interesan dos tipos desucesiones: las SURJUHVLRQHV DLUWPHWLFDV y las SURJUHVLRQHV JHRPHWULFDV que abreviaremos P.A y P.G. respectivamente. Diremos que la sucesión es una P.A. si la GLIHUHQFLD entre dos terminos consecutivos de la progresion es constante. Esto quiere decir que al sucesión es dela siguiente forma:  D  0G D1  D D 4  D 3  G  ŸD  2G   G B D 3  D 2  G  ŸD  G   G D2  D  G    D  1G D  2G B D  3G...