Numeros Reales

Unidad 1. Números Reales
Introducción
Es importante hacer notar que los conceptos matemáticos como el de Función, han estado sujetos a variadas percepciones culturales a través de la evolución de la humanidad. Por ejemplo, de manera incipiente en las matemáticas de los babilonios aparecen tablas de los cuadrados, de los cubos y de los recíprocos de los números naturales. Tolomeo, trabajó concuerdas de un circulo lo cual, da idea de que entendía aspectos relacionados con funciones trigonométricas.
1.1 La recta numérica
Historia. La recta numérica inventada por John Wallis es un dibujo unidimensional de una línea recta en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados espaciados uniformemente.
Construcción y uso. Todos los números pueden ordenarse en unarecta y a la cual, denominaremos recta numérica. De esta manera, podemos determinar si un número es igual, mayor o menor que otro, dependiendo del lugar que ocupa en la recta numérica.
Para representar números como puntos de una recta puedes proceder de esta manera:
-Trazas una recta horizontal y sobre ésta marcas un punto O. A ese punto lo llamaremos Origen y como número representará de aquíen adelante el cero.
- Eliges una medida cualquiera (no demasiado grande para que puedas ubicar varios números) y la utilizas como distancia para marcar el 1 a la derecha del O, el 2 a la derecha del 1, etcétera. Recuerda, la distancia entre los números debe tener la misma medida:
Decimos que un número es menor, cuando está ubicado a la izquierda de otro en la recta numérica, o sea, está máscerca del O y, decimos que es mayor, cuando se ubica a la derecha de otro y está más alejado del Origen. Puedes ver que el número 3 está más alejado del O, es el número más grande que ubicamos en la recta. Mientras que si ocupan la misma posición, se dice que son iguales.

1.2 Los números reales
Es un conjunto no vacío designado como  y denominado conjunto de los números reales. En él se defineuna relación de igualdad “ = ” y dos operaciones algebraicas “ + ” y “ • ”
Relación de igualdad
Definición: R = (a, b) en que a  b    a R b 
Propiedades de la relación “ = ” :
A1 Reflexividad:  a    a = a
A2 Simetría:  a, b  , si a = b  b = a
A3 Transitividad:  a, b, c  , si a = b  b = c  a = cOperaciones en 
Definición: Adición o Suma ( + ): (a, b)    a + b  
Multiplicación o producto ( • ) : (a, b)    a • b  
Propiedades de las operaciones ( + ) y ( • ):

B1 Conmutatividad: a + b = b + a

B2 Asociatividad:a + ( b + c ) = ( a + b ) + a

B3 Existe un elemento identidad para la suma: a + 0 = 0 + a = a

B4 Existencia de elementos inversos para la suma: a + (-a) = (-a) + a = 0

B5 Conmutatividad: a • b = b • a

B6 Asociatividad:a • ( b • c ) = ( a • b ) • c

B7 Existe un elemento identidad para la multiplicación: a • 1 = 1 • a = a

B8 Existencia de inversos para la multiplicación, si a  0: a • a-1 = a-1 • a = 1

B9 Ley distributiva: a • ( b + c ) =a • b + a • c

La compatibilidad entre estas dos operaciones y la relación de igualdad, se establece mediante las leyes:
Si a = b  a + c = b + c ; Si a = b  a • c = b • c

Teorema 1. En , los elementos identidad para la suma y para la multiplicación (neutro aditivo y multiplicativo respectivamente) son únicos.
Demostración: Se emplea...