numerosreales calculo diferemcial e integral

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Instituto Tecnolo
Departamento de Matem´aticas
C´alculo Diferencial e Integral I
(MAT14100)
Lista de Ejercicios

Los n´
umeros reales

C´
alculo Diferencial e Integral I. Los n´
umeros reales.

Igualdades y desigualdades
Antes de hacer los ejercicios, despeja un poco
tu mente leyendo sobre la historia de los n´
umeros
reales en http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Real_numbers_1.html.
1. Determina todos los valores reales que satisfacen
(x2

− 5x +

6)2

2

= x − 5x + 6.

2. Obt´en el conjunto soluci´
on de las siguientes
desigualdades:
a)

|2x2

+ x − 1| ≥

x2

+ 1,

b) |x| + |x + 1| < 2,
c) 4 < |x + 2| + |x − 1| < 5,
1−x
d)
> 0,
x−4
e) |2x−|x − 3|| < 5,
x+1
x
f)
>
.
2−x
3+x
3. Obt´en el conjunto de n´
umeros cuya distancia
a 3 es mayor a5.
4. Obt´en el conjunto de n´
umeros cuya distancia
a -2 m´as su distancia a 1 es mayor a 1.
5. Escribe los siguientes decimales peri´
odicos como cociente de dos n´
umeros enteros:
a) 4.017,
b) −15.7915,
c) 0.012345.
6. Encuentra un n´
umero racional y un n´
umero
irracional entre
a) 0.1723 y 0.1815
b) 0.98 y 0.99
c) 0.012345 y 0.023456
d ) Encuentra una infinidad de n´
umeros irracionales entrelos n´
umeros de los incisos
anteriores.
7. Escribe los siguientes intervalos como el conjunto soluci´
on de una desigualdad de la forma
|x − x0 | < δ para algunas x0 ∈ R y δ > 0.

1

a) I = (0, 3),
b) I = (−3, 2),
c) I = (3, 3 + a).
8. Encuentra δ > 0 tal que cumpla
a) si 0 < |x − 3| < δ entonces
|x2 − 9| < 0.5,
b) si 0 < |x − 0.5| < δ entonces
|x2 − 0.25| < 0.1,
c) si 0 < |x + 1| < δ entonces
|x2− 1| < 0.2,
d ) si 0 < |x − 1| < δ entonces
|(x2 − 5) + 4| < 0.15,
e) si 0 < |x − 2| < δ entonces
|(x2 − 2x + 1) − 1| < 0.4,
f ) si 0 < |x + 1| < δ entonces
|(x2 + 4x + 4) − 1| < 0.08,
g) si 0 < |x + 3| < δ entonces
|(2x2 + 5x + 3) − 6| < 0.6,
h) si 0 < |x − 1| < δ entonces
|(3x2 − 7x + 2) + 2| < 0.3,
i ) si 0 < |x + 2| < δ entonces
2 −4
| xx+2
+ 4| < 0.01,
j ) si 0 < |x − 13 | < δ entonces
2 −1| 9x
3x−1 − 2| < 0.01,
k ) si 0 < |x + 12 | < δ entonces
2 −4x−3
| 4x 2x+1
+ 4| < 0.03.
9. Prueba que
|a − b| ≤ |a + b| ⇔ ab ≥ 0 ∀a, b ∈ R.
Sugerencia. Eleva al cuadrado la desigualdad.
10. Prueba que
1
|xy| ≤ (x2 + y 2 )
2

∀x, y ∈ R.

Sugerencia. (|x|−|y|)2 ≥ 0 ∀x ∈ R.
11. Prueba que
1
x
1
− ≤ 2
≤
2
x +1
2
Sugerencia. (|x| − 1)2 ≥ 0

∀x ∈ R.
∀x ∈ R.

C´
alculo Diferencial e Integral I. Los n´umeros reales.

12. Demuestra que ∀a, b ∈ R se cumple
|a + b| = |a| + |b| ⇔ ab ≥ 0.
13. Demuestra que ∀a, b ∈ R se cumple
||a| − |b|| ≤ |a − b|
14. Usa el ejercicio 13 para estimar x por arriba si

2

22. Desigualdad de Bernoulli. Muestra que para
un n´
umero natural n y un n´
umero no negativo
b,
(1 + b)n ≥ 1 + nb.
23. Para un natural n y un n´
umero no negativo b
muestra que
(1 + b)n ≥ 1 + nb +a) |x − 3| ≤ 7,
b) |x + 6| ≤ 12,

n(n − 1) 2
b .
2

24. Desigualdad de Cauchy.

c) |3x − 15| ≤ 4,

a) Usa el ejercicio (11) para probar la desigualdad de Cauchy:

d ) |4x − 5| ≤ 3.
15. Si x e y son n´
umeros reales cualesquiera, x <
y, demuestra que existe por lo menos z ∈ R
tal que x < z < y.
16. Demuestra que ∀a ∈ R con a = 0 se cumple
a+

1
≥ 2.
a

b) Usa la desigualdad de Cauchy para probarque si a ≥ 0 y b ≥ 0 entonces
√

17. Demuestra que si 0 ≤ a < ε para todo ε > 0,
entonces a = 0.
18. Sean a, b ∈ R y sup´
on que |a−b| < ε para todo
ε > 0. Demuestra que a = b.
19. Sean a, b ∈ R y sup´
on que a ≤ b + ε para todo
ε > 0. Demuestra que a ≤ b.
20. Utiliza la propiedad arquimediana para probar
que si 0 < a < b, entonces ∃n ∈ N tal que
1<

1
ab ≤ (a2 + b2 ) ∀a, b ∈ R.
2

na
.
b

21. Paracualquier n´
umero natural n y cualesquiera n´
umeros a y b,

1
ab ≤ (a + b).
2

c) Usa la desigualdad de Cauchy para probar que ∀a, b ∈ R y para un n´
umero natural n,
1
1
na2 + b2 .
2
n
√
Sugerencia. Reemplaza a por na y b por
√
b/ n en la desigualdad de Cauchy.
ab ≤

25. Si x = 0 es racional e y es irracional, demuestra que x + y, x − y, xy, x/y, y/x son todos
irracionales.
26. Demuestra que...