Organizacion y planeación
Páginas: 6 (1353 palabras)
Publicado: 6 de septiembre de 2010
APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES
1. E oscilador armónico simple
[pic]
Figura 1.
Supóngase que un cuerpo de masa m1 está sujeto al extremo de un resorte flexible como se muestra en la Figura 1. Cuando m1 se reemplaza por m2, el alargamiento del resorte será distinto. La ley de Hooke indica que el resorte ejerce una fuerza de restitución F opuesta a la dirección del alargamientoy proporcional a la magnitud de la elongación s.
F = k*s
Donde k es una constante de proporcionalidad. Si por ejemplo, una masa de 10 libras (lb) de peso alarga el resorte 1/2 pie, entonces
10 = k (1/2) implica que k = 20 lb/pie
Si se tiene una masa m sujeta a un resorte, ésta lo alargará una magnitud s y alcanzará su posición de equilibrio en la cual su peso W se equilibracon la fuerza de restitución (Ver Figura 2).Si luego, la masa se desplaza de su posición de equilibrio una magnitud x y después se suelta, la fuerza neta F está dada por la segunda ley de Newton
[pic]
Figura 2.
F = m*a
Donde a = d2x / dt2
Suponiendo que no existen fuerzas retardadoras en el sistema y suponiendo que la masa oscila libre de la influencia de otras fuerzasexteriores, la ecuación de movimiento para m será:
[pic]
Donde [pic]
La ecuación anterior es una ecuación homogénea que tiene asociada una ecuación característica cuyas raíces se obtienen fácilmente:
[pic]
Del tal forma que la solución general de la ecuación diferencial es:
[pic]
Las constantes que aparecen en la ecuación anterior se calculan de las condiciones iniciales del problema:la posición y velocidad inicial de la masa m: x(0), x’(0).
El periodo T = 2( / w, es el tiempo que emplea la masa m, en dar una oscilación completa, es decir, es el intervalo de tiempo entre dos máximos sucesivos de x(t) (la gráfica se repite cada 2( / w unidades). La frecuencia f = 1/T = w / 2(, indica que existen w ciclos cada 2(.
La solución general de la ecuación diferencial se puedeescribir en la forma:
[pic][pic]
Ejemplo1.
Una masa que pesa 2 lb estira un resorte 6 pulg. Dicha masa se suelta en t=0 desde un punto que se encuentra a 8 pulg por debajo de la posición de equilibrio, con una velocidad dirigida hacia arriba de 4/3 pie/s. Determine la función x(t) que describe el movimiento libre resultante.
6 pulg = 1/2 pie; 8 pulg = 2/3 pie.
g = 32 pies / s2, por loque m = 2/32 = 1/16 slug.
De la ley de Hooke, 2 = k (1/2) lo que implica que k = 4 lb/pie
La ecuación diferencial de este movimiento es:
[pic]
La solución general es:
[pic]
Aplicando las condiciones iniciales x(0) = 2/3 y x’(0) = -4/3, se obtienen los valores de las constantes, C1 = 2/3 y C2 = -1/6.
Así, la ecuación de movimiento es
[pic]
Usando la forma alternativa,tenemos que
A = (17 / 6 ( 0.69 pie y ( = 1.816 radianes
[pic]
> [pic]
[pic]
> [pic]
[pic]
> [pic]
[pic]
2. Movimiento Amortiguado
[pic]
Este es un modelo más real que supone una fuerza opuesta al movimiento debida al medio que rodea a la masa m. En mecánica se supone que las fuerzas de amortiguación que actúan sobre un cuerpo son proporcionales a una potencia de lavelocidad, en este caso suponemos que esta fuerza está dada por un múltiplo de v (b*dx/dt, b es la constante de amortiguación positiva). Cuando no actúan otras fuerzas exteriores al sistema la ecuación de movimiento es:
[pic]
La ecuación anterior es una ecuación homogénea que tiene asociada una ecuación característica cuyas raíces se obtienen fácilmente:
[pic]
Según el signo algebraicode (2 – w2, se pueden distinguir tres casos posibles. Pero, debido a que en cada solución aparece el factor de amortiguación e-(t, los desplazamientos de m se vuelven insignificantes para valores de tiempo grandes.
a) (2 – w2 >0 (Sobreamortiguado, b > k)
La solución general es:
[pic]
La ecuación anterior representa un movimiento no oscilatorio.
b) (2 – w2 = 0 (Críticamente...
1. E oscilador armónico simple
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Figura 1.
Supóngase que un cuerpo de masa m1 está sujeto al extremo de un resorte flexible como se muestra en la Figura 1. Cuando m1 se reemplaza por m2, el alargamiento del resorte será distinto. La ley de Hooke indica que el resorte ejerce una fuerza de restitución F opuesta a la dirección del alargamientoy proporcional a la magnitud de la elongación s.
F = k*s
Donde k es una constante de proporcionalidad. Si por ejemplo, una masa de 10 libras (lb) de peso alarga el resorte 1/2 pie, entonces
10 = k (1/2) implica que k = 20 lb/pie
Si se tiene una masa m sujeta a un resorte, ésta lo alargará una magnitud s y alcanzará su posición de equilibrio en la cual su peso W se equilibracon la fuerza de restitución (Ver Figura 2).Si luego, la masa se desplaza de su posición de equilibrio una magnitud x y después se suelta, la fuerza neta F está dada por la segunda ley de Newton
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Figura 2.
F = m*a
Donde a = d2x / dt2
Suponiendo que no existen fuerzas retardadoras en el sistema y suponiendo que la masa oscila libre de la influencia de otras fuerzasexteriores, la ecuación de movimiento para m será:
[pic]
Donde [pic]
La ecuación anterior es una ecuación homogénea que tiene asociada una ecuación característica cuyas raíces se obtienen fácilmente:
[pic]
Del tal forma que la solución general de la ecuación diferencial es:
[pic]
Las constantes que aparecen en la ecuación anterior se calculan de las condiciones iniciales del problema:la posición y velocidad inicial de la masa m: x(0), x’(0).
El periodo T = 2( / w, es el tiempo que emplea la masa m, en dar una oscilación completa, es decir, es el intervalo de tiempo entre dos máximos sucesivos de x(t) (la gráfica se repite cada 2( / w unidades). La frecuencia f = 1/T = w / 2(, indica que existen w ciclos cada 2(.
La solución general de la ecuación diferencial se puedeescribir en la forma:
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Ejemplo1.
Una masa que pesa 2 lb estira un resorte 6 pulg. Dicha masa se suelta en t=0 desde un punto que se encuentra a 8 pulg por debajo de la posición de equilibrio, con una velocidad dirigida hacia arriba de 4/3 pie/s. Determine la función x(t) que describe el movimiento libre resultante.
6 pulg = 1/2 pie; 8 pulg = 2/3 pie.
g = 32 pies / s2, por loque m = 2/32 = 1/16 slug.
De la ley de Hooke, 2 = k (1/2) lo que implica que k = 4 lb/pie
La ecuación diferencial de este movimiento es:
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La solución general es:
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Aplicando las condiciones iniciales x(0) = 2/3 y x’(0) = -4/3, se obtienen los valores de las constantes, C1 = 2/3 y C2 = -1/6.
Así, la ecuación de movimiento es
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Usando la forma alternativa,tenemos que
A = (17 / 6 ( 0.69 pie y ( = 1.816 radianes
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> [pic]
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> [pic]
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2. Movimiento Amortiguado
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Este es un modelo más real que supone una fuerza opuesta al movimiento debida al medio que rodea a la masa m. En mecánica se supone que las fuerzas de amortiguación que actúan sobre un cuerpo son proporcionales a una potencia de lavelocidad, en este caso suponemos que esta fuerza está dada por un múltiplo de v (b*dx/dt, b es la constante de amortiguación positiva). Cuando no actúan otras fuerzas exteriores al sistema la ecuación de movimiento es:
[pic]
La ecuación anterior es una ecuación homogénea que tiene asociada una ecuación característica cuyas raíces se obtienen fácilmente:
[pic]
Según el signo algebraicode (2 – w2, se pueden distinguir tres casos posibles. Pero, debido a que en cada solución aparece el factor de amortiguación e-(t, los desplazamientos de m se vuelven insignificantes para valores de tiempo grandes.
a) (2 – w2 >0 (Sobreamortiguado, b > k)
La solución general es:
[pic]
La ecuación anterior representa un movimiento no oscilatorio.
b) (2 – w2 = 0 (Críticamente...
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