perito

Geometría Plana
Lugar Geométrico
Se ll
S llama L
Lugar Geométrico al conjunto d
G
ét i
l
j t de
puntos del plano o del espacio que cumplen
una determinada propiedad
propiedad.

F ( x, y)  0
Lugar geométrico en el plano o en el
espacio

F ( x, y, z )  0
Lugar geométrico en el espacio
L
ét i
l
i
1

La Recta en el Plano
La Recta es un lugar geométrico, por ello, respondea
una ecuación
ecuación.
Para poder expresarla serán necesarios:
1) Un punto perteneciente a la recta y una dirección
(vector Director), o
2) Dos puntos p
)
p
pertenecientes a ella, o
,
3) Un punto perteneciente a la recta y su pendiente

2

Ecuación Vectorial de la Recta
I.

Un Punto perteneciente a la recta y una dirección
u
P=(p1;p2)
PX
OP
1

X=(x;y)
OX

1
OEcuación Vectorial de la Recta
E
ió V t i l d l R t

Por sumas de Vectores: OX  OP  PX
Pero:

PX    u

OX  OP    u
  
Ecuación Vectorial de la Recta3

entonces

Ecuación Paramétrica de la Recta en el
plano
l
Para deducirla se partirá de la expresión vectorial:
OX  OP    u

( x; y )  ( p1 ; p 2 )    (u1 ; u 2 )
( x; y )  ( p1    u1 ; p 2    u 2 )Por igualdad de vectores debe verificarse:
g

 x  p1    u1

 y  p2    u 2
Ecuación Paramétrica de la Recta
4

Ecuación Simétrica de la Recta en el
plano
l
Partiendo de la ecuación paramétrica, despejamos  :

x  p1

u1



y  p2

u2

u1  0  u 2  0

Igualando lo anterior:

x  p1 y  p 2

u1
u2
Ecuación Simétrica de la Recta
5

EcuaciónGeneral o Implícita de la
Recta
R t
Se partirá de la ecuación simétrica:
x  p1 y  p 2

u1
u2

 u 2  ( x  p1 )  u1  ( y  p 2 )  u 2  x  u 2  p1  u1  y  u1  p 2



u 2  x  u 2  p1  u1  y  u1  p 2  0  u 2  x  u1  y  u 2  p1  u1  p 2  0

Si en la ecuación anterior llamamos:
A  u2

Nos
N quedará:
d á

B  u1 C  u 2  p1  u1  p 2

A x  B  y C  0
Ecuación General o Implícita
E
ió G
l I lí it
6

Ecuación a partir de un punto y la
pendiente d una R t
di t de
Recta
Se deberá partir de la forma simétrica:
x  p1 y  p 2

u1
u2

Si llamamos: m 
Quedará:

u2
u1

u2
 ( y  p2 ) 
 ( x  p1 )
u1

pendiente

y

P  ( p1 ; p 2 )

punto  recta

y  p 2  m  ( x  p1 )

Ecuación de la Recta dadosun punto y su pendiente
7

Ecuación Explícita de la Recta
Partiremos de la ecuación implícita, consideramos (x)
variable independiente e ( y ) como variable dependiente:
Ax  By  C  0  By   Ax  C 

y

A
C
x
B
B

Si llamamos m   A  b   C se obtiene:
llamamos,
B

B

y  mx  b
Ecuación Explícita de la Recta

8

Ecuación de la Recta dados dos
puntos
tSean A  ( x1 , y1 ) y B  ( x 2 , y 2 ) dos puntos de la recta y
sea P  ( x, y) un punto genérico de la recta anterior:

Se consideran los triángulos ARB y ASP. De la
proporcionalidad de sus lados resulta:
9

PS
BR

PS  y  y1
AS  x  x1



AS

(1) siendo
i d

AR

BR  y 2  y1
AR  x2  x1

Reemplazando en (1) queda:
(2)

y  y1
x  x1

y2  y1 x2  x1
x 2  x1;

con

y 2  y1

Ecuación de la recta dada por dos puntos
10

Llamando  al ángulo que forma la recta con el
semieje positivo d l x:
i j
iti de las

y2  y1
tg
t 
m
x2  x1

Se llama Pendiente

Si ahora en la ecuación (2) hacemos:

 y 2  y1 
y  y1  
 x  x    x  x1 

 2 1
Se bti
S obtiene:

y2  y1
siendo
m
x2  x1

y  y1  m  ( x x1 )

Ecuación de la recta dado un punto y su pendiente
11

Tipos de Rectas
I)

Recta que corta a los 2 ejes

A0 B0 C 0 
II)

Ax  By  C  0

Recta paralela al eje x (Recta horizontal)

A  0 B  0 C  0  By  C  0 
III)

C
y
B

Recta paralela al eje y (Recta vertical)

A0 B0 C 0 

C
Ax
A C 0  X  
A
12

Ejemplos:
1) 4 x  3 y  2  0  y  ...