Plan lector de Calculo Diferencial






Plan Lector De Cálculo Diferencial
Tema: Limites


Seguridad e Higiene Ocupacional











Límite infinito
Caso 1:
limx->af(x) = +inf para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) > A.
El límite de f(x) cuando x->a es infinito positivo, si para cualquier número positivo A (tan grande como se quiera), podemos encontrar un número δ talque, para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple que f(x) es mayor que A.
En otras palabras, si para cualquier número positivo A que consideremos, existe un entorno reducido de a donde la función vale más que A, quiere decir que f(x) puede hacerse mayor que cualquier número, con tal de que x se acerque lo suficiente a a. Por eso se dice que el límite de f(x) cuando xtiende a a es +inf.

Caso 2:
limx->af(x) = -inf para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) < -A.


Caso 3:
limx->+inff(x) = +inf para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x > Bf(x) > A.

Para cualquier número positivo A (por grande que sea), es posible encontrar un número positivo B tal que para todos los x mayores que B, f(x) es mayor que A. Es decir que f(x)puede ser mayor que cualquier número, si x es lo suficientemente grande.
Caso 4
limx->+inff(x) = -inf para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x > Bf(x) < -A.

Caso 5:
limx->-inff(x) = +inf para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x < -Bf(x) > A.

Caso 6:
limx->-inff(x) = -inf para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x < -Bf(x) < -A.

Caso 7:
limx->+inff(x) = b para todo ε > 0existe B > 0 / para todo x > B f(x) pertenece al Eb,ε.

Caso 8:
limx->-inff(x) = b para todo ε > 0 existe B > 0 / para todo x < -B f(x) pertenece al Eb,ε.






Limites al Infinito
En la unidad 8 se ha considerado el límite de una función f (x) cuando ,  ó , siendo a un número real.
Ahora, se quiere conocer el comportamiento de f (x) cuando la variable x toma valores positivos onegativos tan grandes en valor absoluto como se quiera. Esto último se expresa frecuentemente en el cálculo usando los símbolos:  ó.
Considere por ejemplo la función:  y cuya gráfica aparece en la fig. 9.18.


fig. 9.18.

En la tabla 1 aparecen tabulados los valores de f (x) cuando la variable x toma sucesivamente los valores: 0, 1, 10, 100, 1.000, 10.000 y 100.000.  
 




x



0
1.331
1.4
10
1.47826
100
1.4975369
1000
1.4997504
10000
1.499975
100000
1.4999975
Tabla 1

x

 
 
-1
1
-10
1.52941
-100
1.502538
-1000
1.50025
-10000
1.500025
-100000
1.5000025
 Tabla 2 
Nótese que a medida que la variable x toma valores más y más grandes, f (x) se aproxima cada vez mas al valor 1.5.
Observe, además, que cuando x = 100, entonces  y cuando x = 1000,entonces .
Esto muestra que cuando la variable x toma valores más y más grandes, entonces la cantidad  se hace cada vez más pequeña.
Supóngase ahora que se quiere que . ¿Qué valores de la variable x satisfacen esta desigualdad?
Se puede verificar que si , entonces . En particular, si.
Lo anterior se puede generalizar de la manera siguiente:
Dado un número  , tan pequeño como se quiera, se puedeencontrar un número  tal que:
Si , entonces  y esto se expresa escribiendo: .
Considérese ahora los valores tabulados en la tabla 2. Nótese que a medida que la variable x toma valores negativos y grandes en valor absoluto, nuevamente f (x) se aproxima cada vez mas al valor 1.5.
Asi, cuando x = – 100, entonces, 
cuando x = – 10.000, entonces, 
Aquí también tiene cabida la siguiente pregunta:¿Para que valores de x negativos, se verifica que ?

Se puede probar fácilmente (hágalo como ejercicio) que si , entonces se cumple la desigualdad deseada. En particular, si , entonces, .
Lo anterior se puede generalizar diciendo que al fijar un número , se puede encontrar un número , tal que si , entonces  y esto equivale a decir que: .

 Definición:
i. Sea f una función definida en un...