Polinomios que conservan área bajo la curva

Funciones polinómicas que conservan el área
bajo la curva.
Daniel Buitrago
danielbuitrago1@yahoo.com
Fundación Universitaria Konrad Lorenz
Tandem.
19 de diciembre de 2012
Resumen
En el presente trabajo se muestra la existencia y unicidad de una función polinómica de mayor longitud de arco que conserva el área bajo la
curva de una función polinómica dada del mismo grado.
Palábras clave:Función polinómica, área bajo la curva, longitud de
arco.
MSC2000: 26: Funciones reales.

1.

Introducción

Sobre …guras planas cerradas que conservan el área bajo un mapeo ', autores
como Surhone y otros ([1], [2] y [3]) hablan de un mapeo equiárea si, al ser M
y N dos super…cies de R3 , el área super…cial de todo conjunto abierto U de
M es igual al área super…cial de ' (U ) en N . Sinembargo, no hay actualmente
documentos dedicados al estudio de las curvas que encierran dichas áreas iguales
y las relaciones entre ellas cuando se quiere que la segunda parta de la primera
aumentando su longitud en cierta cantidad. El propósito del presente trabajo es
sentar las bases de su estudio partiendo de la situación más elemental: Figuras
que se encuentran cerradas por una funciónpolinómica y un intervalo en R2 .
Esto con la idea de que la determinación de las curvas que encierran este tipo de
…guras tenga una mayor utilidad práctica que el estudio meramente abstracto
del mapeo entre sus áreas super…ciales y sirva también como fuente de problemas
de Matemáticas a nivel universitario.

2.

Problema inicial y de…niciones básicas

Se parte de una …gura poligonalcerrada cualquiera con un área dada. Si se
aumenta la longitud de uno de sus lados y se quiere que la …gura conserve la
misma área, ¿cuál debe ser la longitud de los demás lados?
Si se traslada la situación al plano cartesiano donde se requiere que uno de
los lados de la …gura sea un subconjunto del eje x, (llámese [c; d]) y los restantes
sean una función polinómica de x (llámese f (x)), sepuede expresar el problema
como hallar una función polinómica g (x) tal que
Z d
Z d+k
f (x) dx =
g (x) dx
c

c k

Donde la longitud del lado [c; d] ha sido aumentada en 2k. (Nótese que esto
implica que c y d son soluciones de f (x) = 0 y a su vez c k y d + k lo son de
g (x) = 0)

De…nición 2.1 Sea LA =

Z
Z dq
2
1 + jf 0 (x)j dx y LB =

d+k q

c k

c

2

1 + jg 0 (x)j dxdonde c y d son soluciones de f (x) = 0 y a su vez c k y d + k lo son de
g (x) = 0. Entonces a la variación LB LA = L se le denomina elongación
longitudinal de la …gura. Y a E = 2k se le denomina elongación de la base.
El enfoque que se empleará es el de determinar por completo los objetos que
conforman las dimensiones de la nueva …gura formada. Esto es, función g (x)
sobre el intervalo [ck; d + k].

3.

El caso de la función cuadrática

Problema 3.1 Al considerar la situación en la que la …gura está delimitada por
un intervalo [c; d] y una función cuadrática f , se tiene el siguiente planteamiento:
Sea f (x) = a2 x2 + a1 x + a0 una función con a2 ; a1 ; a0 2 R y a2 6= 0 tal
que f (c) = f (d) = 0. Se quieren encontrar números reales b2 ; b1 ; b0 con b2 6= 0
tales que
Z dZ d+k
2
a2 x + a1 x + a0 dx =
b2 x2 + b1 x + b0 dx
(1)
c

c k

Y que además:

2

b2 (d + k) + b1 (d + k) + b0 = b2 (c
2

2

k) + b1 (c

k) + b0 = 0

(2)

Solución 3.1 Sea A =
como

Z

d

a2 x2 +a1 x+a0 dx. La ecuación (1) se puede reescribir

c

A=

Z

d+k

b2 x2 + b1 x + b0 dx

c k

Calculando la integral se obtiene que
3

b2 (d + k)
A=

(c3

2

k)

b1 (d + k)
+

3

1h
2
b1 (d + k)
6

k)

+ b0 ((d + k)

2

Que, aplicando el hecho de que (d + k) y (d
b2 x2 + b1 x + b0 , puede llegarse a la ecuación
A=

2

(c

(c

2

k)

(c

k))

k) son soluciones del polinomio

+ 4b0 ((d + k)

i
k))

(c

Ahora, agregando las condiciones expresadas en (2) se tiene

(3)

2

b2 (d + k) + b1 (d +...