Práctica con ejercicios Singularidades y Teorema del residuo (matemática)
Páginas: 18 (4357 palabras)
Publicado: 24 de septiembre de 2015
Práctica 11
Singularidades
y
Residuos
1
16.2
Problema 1.
Ejercicios Resueltos
Problema 1
Clasificar las singularidades aisladas para :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Solución
(a)
es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito
finito. Por lo tanto,
Veamos si es polo doble:
no es polo simple.
y
es polo doble de .
2
Solución
(a)
es singularidad aislada para : ahora veamos siexiste finito
finito. Por lo tanto,
no existe
no es polo simple.
y
Veamos si es polo doble:
es polo doble de .
(b)
Por lo tanto,
en
aquí
. Además, no existe
es singularidad aislada de
por lo que
y es obvio que
no es acotada
es una singualridad esencial para .
(c)
es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).
Pero hay quedescartar que no sea polo de orden menor (recuérdese del ejemplo que sigue al Teorema , la función
aparenta tener polo de orden en
y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
Estudiamos
que no es finito.
Estudiemos
Observamos que con exponente
que no es finito.
en
no vamos a conseguir límite finito. Pasamos entonces a:
es polo de orden
para .
(d)
Es evidente que
y
son singularidadesaisladas de , pero también es obvio que no son polos simples
(demuéstrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:
3
Sin embargo, en general, al tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea e
aislada
Solución(removible, polo o esencial) el residuo es igual a .
(a)
es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito
finito. Por lo tanto,
no existe
no es polo simple.16.2
Ejercicios
Resueltos
y
Veamos si es polo doble:
es polo doble de .
Problema 1
(b)
Clasificar
las singularidades aisladas para :
Por lo tanto,
(a)
en
aquí
. Además, no existe
es singularidad aislada de
por lo que
y es obvio que
no es acotada
es una singualridad esencial para .
(b)
(c)
es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo deorden ).
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recuérdese del ejemplo que sigue al Teorema , la función
(c)
aparenta tener polo de orden en
y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
(d)
Estudiamos
que no es finito.
Estudiemos
(e)
Observamos que con exponente
que no es finito.
en
no vamos a conseguir límite finito. Pasamos entonces a:
(f)
es polo de orden
para .(d)
Solución
aislada
para : ahora
veamos
si existe
(a)
Es evidente es
quesingularidad
y
son singularidades
aisladas
de , pero
tambiénfinito
es obvio que no son polos simples
(demuéstrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:
4
Sin embargo, en general, al (f)
tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea e
aislada
Solución(removible, polo o esencial) el residuo es iguala .
(a)
es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito
finito. Por lo tanto,
no existe
Solución
no es polo simple.
es singularidad aislada para : ahora veamos si existe fi
(a)
16.2
Ejercicios
Resueltos
y
es polo doble de .
Veamos si es polo doble:
no es polo simple.
finito. Por lo tanto,
Problema 1
(b)
Clasificar
las singularidadesVeamos
aisladassipara
: doble:
es polo
Porlo tanto,
(a)
en
aquí
. Además, no existe
(b)
y
es singularidad aislada de
por lo que
y es obvio que
no es acotada
es una singualridad esencial para .
(b)
(c)
es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recuérdese del ejemplo que sigue al Teorema , la función
(c)
Por lotanto,
aquí
es singularid
aparenta tener polo de orden en
y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
(d)
Estudiamos
Estudiemos
(e)
Observamos que con exponente
en
. Además, no existe
por lo que
es un
que no es finito.
(c)
aislada de . Vamos a utilizar el Teorem
quees
no singularidad
es finito.
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recuérde
en
no vamosaparenta
a...
Singularidades
y
Residuos
1
16.2
Problema 1.
Ejercicios Resueltos
Problema 1
Clasificar las singularidades aisladas para :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Solución
(a)
es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito
finito. Por lo tanto,
Veamos si es polo doble:
no es polo simple.
y
es polo doble de .
2
Solución
(a)
es singularidad aislada para : ahora veamos siexiste finito
finito. Por lo tanto,
no existe
no es polo simple.
y
Veamos si es polo doble:
es polo doble de .
(b)
Por lo tanto,
en
aquí
. Además, no existe
es singularidad aislada de
por lo que
y es obvio que
no es acotada
es una singualridad esencial para .
(c)
es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).
Pero hay quedescartar que no sea polo de orden menor (recuérdese del ejemplo que sigue al Teorema , la función
aparenta tener polo de orden en
y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
Estudiamos
que no es finito.
Estudiemos
Observamos que con exponente
que no es finito.
en
no vamos a conseguir límite finito. Pasamos entonces a:
es polo de orden
para .
(d)
Es evidente que
y
son singularidadesaisladas de , pero también es obvio que no son polos simples
(demuéstrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:
3
Sin embargo, en general, al tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea e
aislada
Solución(removible, polo o esencial) el residuo es igual a .
(a)
es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito
finito. Por lo tanto,
no existe
no es polo simple.16.2
Ejercicios
Resueltos
y
Veamos si es polo doble:
es polo doble de .
Problema 1
(b)
Clasificar
las singularidades aisladas para :
Por lo tanto,
(a)
en
aquí
. Además, no existe
es singularidad aislada de
por lo que
y es obvio que
no es acotada
es una singualridad esencial para .
(b)
(c)
es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo deorden ).
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recuérdese del ejemplo que sigue al Teorema , la función
(c)
aparenta tener polo de orden en
y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
(d)
Estudiamos
que no es finito.
Estudiemos
(e)
Observamos que con exponente
que no es finito.
en
no vamos a conseguir límite finito. Pasamos entonces a:
(f)
es polo de orden
para .(d)
Solución
aislada
para : ahora
veamos
si existe
(a)
Es evidente es
quesingularidad
y
son singularidades
aisladas
de , pero
tambiénfinito
es obvio que no son polos simples
(demuéstrelo!). Por lo tanto, pensemos en polos dobles:
4
Sin embargo, en general, al (f)
tener el desarrollo en serie de Laurent para , cualquiera que sea e
aislada
Solución(removible, polo o esencial) el residuo es iguala .
(a)
es singularidad aislada para : ahora veamos si existe finito
finito. Por lo tanto,
no existe
Solución
no es polo simple.
es singularidad aislada para : ahora veamos si existe fi
(a)
16.2
Ejercicios
Resueltos
y
es polo doble de .
Veamos si es polo doble:
no es polo simple.
finito. Por lo tanto,
Problema 1
(b)
Clasificar
las singularidadesVeamos
aisladassipara
: doble:
es polo
Porlo tanto,
(a)
en
aquí
. Además, no existe
(b)
y
es singularidad aislada de
por lo que
y es obvio que
no es acotada
es una singualridad esencial para .
(b)
(c)
es singularidad aislada de . Vamos a utilizar el Teorema (pensando que se trata de un polo de orden ).
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recuérdese del ejemplo que sigue al Teorema , la función
(c)
Por lotanto,
aquí
es singularid
aparenta tener polo de orden en
y, sin embargo, encontramos que era polo de orden ).
(d)
Estudiamos
Estudiemos
(e)
Observamos que con exponente
en
. Además, no existe
por lo que
es un
que no es finito.
(c)
aislada de . Vamos a utilizar el Teorem
quees
no singularidad
es finito.
Pero hay que descartar que no sea polo de orden menor (recuérde
en
no vamosaparenta
a...
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