Teorema Del Residuo

teorema del residuo
Teorema que establece que si un polinomio de x, f(x), se divide entre (x - a), donde a es cualquier número real o complejo, entonces el residuo es f(a).
Por ejemplo, si f(x) = x2 + x - 2 se divide entre (x-2), el residuo es f(2) = 22 + (2) - 2 = 4. Este resultado puede volverse obvio si cambiamos el polinomio a una de las siguientes formas equivalentes:
f(x) =(x-2)(x+3) + 4
Como se muestra, la expresión anterior nos puede llevar fácilmente a esperar que 4 sea el residuo cuando f(x) se divide entre (x-2).
El teorema del residuo nos puede ayudar a encontrar los factores de un polinomio. En este ejemplo, f(1) = 12 + (1) - 2 = 0. Por lo tanto, significa que no existe residuo, es decir, (x-1) es un factor. Esto puede mostrarse fácilmente una vez quereacomodamos el polinomio original en una de las siguientes expresiones equivalentes:
f(x) = (x-1)(x+2)
Como se muestra, (x-1) es un factor.
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LC / NS – Periodo II – 2009(06)
TEOREMA DEL RESIDUO
Seap (x) un polinomio no constante, entonces el residuo
r (x) de dividir el polinomio p (x) entre (x – a) es igual al
valor numérico del polinomiop enx =a.
Ejemplo01
Calcule el residuo que seobtiene al dividir el polinomio
p(x) = 2x 2 003 +x 2 002 + 3x2 + 5 entre el binomio (x + 1).
Para aplicar el teorema del residuo, debemos seguir el
siguiente procedimiento:
Paso 1:Se calcula el valor que debe asumir la variable
para que el divisor sea cero.
x+ 1 = 0
x= -1
Paso 2:Se remplaza el valor calculado en el polinomio,.
p(x ) = 2x 2 003 +x 2 002 + 3x2 + 2
p(-1) = 2⋅(-1) 2003 + (-1)2 0 0 2 + 3⋅(-1)2 + 5
p(-1) = 7
Paso 3:El valor obtenido es igual al residuo de la
división.
r(x ) = p(-1)
r(x ) = 7
Ejemplo02
Calcule el residuo que se obtiene al dividir el polinomio
q(x) = (2x + 1)3 – 5x2 + 3 entre el binomio (x – 2).
Aplicaremos el teorema del residuo para calcular
directamente el residuo de la división:
Paso 1:
x– 2 = 0
x= 2
Paso 2:q (x)= (2x + 1)3 – 5x2 + 3
q(2) =[2⋅(2) + 1]3 – 5⋅(2)2 + 3
q(2) = 125 – 20 + 3
q (2) = 108
Paso 3:r (x) =q (2)
r(x) = 108
Teorema del factor
El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x - a) si y sólo si P(x = a) = 0.
Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x).
Las raíces o ceros de un polinomio son los valores que anulan el polinomio.
Ejercicio
Comprueba quelos siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:
1(x3 − 5x − 1) tiene por factor (x − 3)
(x3 − 5x −1) es divisible por (x − 3) si y sólo si P(x = 3) = 0.
P(3) = 33 − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0
(x − 3) no es un factor.
2(x6 − 1) tiene por factor (x + 1)
(x6 − 1) es divisible por (x + 1) si y sólo si P(x = − 1) = 0.
P(−1) = (−1)6 − 1 = 0
(x + 1) es un factor.
3(x4− 2x3 + x2 + x − 1) tiene por factor (x − 1)
(x4 − 2x3 + x2 + x − 1) es divisible por (x − 1 ) si y sólo si P(x = 1) = 0.
P(1) = 14 − 2 · 13 + 1 2 + 1 − 1 = 1 − 2 + 1 + 1 − 1 = 0
(x − 1) es un factor.
4(x10 − 1024) tiene por factor (x + 2)
(x10 − 1024) es divisible por (x + 2) si y sólo si P(x = − 2) = 0.
P(−2) = (−2)10 − 1024 = 1024 − 1024 = 0
(x + 2) es un factor.
 
Teorema delfactor

En álgebra, el teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio (una expresión en la cual los términos sólo son sumados, sustraídos o multiplicados, e.g. x2 + 6x + 6). Es un caso especial del teorema del resto.
El teorema del factor establece que un polinomio f(x) tiene un factor (x − k) si y sólo si k es una raíz de f(x), es decir que f(k) = 0.
[editar] EjemploSi se desea encontrar los factores de x3 + 7x2 + 8x + 2, para ello se podría tantear un primer factor, (x − a). Si el resultado de sustituir a en el polinomio es igual a 0, se sabe que hay un factor. ¿Es (x − 1) un factor? Para saberlo, se sustituye x = 1 en el polinomio:

Cómo esta operación da 18 (y no 0), (x − 1) no es un factor de x3 + 7x2 + 8x + 2. Así que ahora se prueba con (x + 1)...