primera calificada calculo vectorial

Universidad Nacional de Ingeniera
Facultad de Ciencias
Escuela Profesional de Matematica Ciclo 2012-2
Solucionario de la Primerra Practica Calicada de Calculo Vectorial 1
CM 141 A-B-C-D
1. (a) Enuncie la denicion de un sistema de coordenadas y realice un graco se~nalando sus componentes.
(b) Halle (si existen) dos conjuntos distintos y no vacos A;B  R tales que A  B = B  A.Prueba:
(a) El sistema de coordenadas cartesianas en el plano esta constituido por dos rectas perpendiculares
que se intersecan en un punto O al que se le llama el origen. Una de las rectas se acostumbra
representarla en posicion horizontal y se le da el nombre de eje X o eje de las abscisas; a la otra
recta, vertical, se le denomina eje Y o eje de las ordenadas. Ambos ejes son orientados, ala
derecha de O: eje positivo de X; arriba de O: eje positivo de Y .
(b) Por contradiccion:
Supongamos que existan dichos conjuntos tales que A  B = B  A con A n B 6= ;.
Luego existe x 2 A tal que x =2 B.
Entonces (x; y) 2 A  B para todo y 2 B, luego (x; y) 2 B  A, lo cual es falso ya que x =2 B.
En consecuencia no existen dichos conjuntos.
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2. Determine la verdad o falsedad de lassiguientes proposiciones. Justique su respuesta.
(a) Dados A;B;C  R no vacos, entonces A  (B n C) = (A  B) n (A  C).
(b) Dados A;B;C  R no vacos, entonces A{  B{  (A  B){
Prueba:
a) ()
Sea w = (a; x) 2 A  (B n C)
entonces a 2 A y x 2 B n C, luego a 2 A y (x 2 B ^ x =2 C)
luego se tiene (a; x) 2 A  B ^ (a; x) 62 A  C, por lo tanto
(a; x) 2 (A  B) n (A  C):
()
Sea w =(a; x) 2 (A  B) n (A  C)
luego (a; x) 2 A  B ^ (a; x) 62 A  C
a 2 A; x 2 B; x 62 C
por lo tanto a 2 A ^ x 2 B n C, esto es (a; x) 2 A  (B n C), as
w 2 A  (B n C):
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b) Considere w = (x; y) 2 AC  BC
entonces x 2 AC ^ y 2 BC
supongamos que se cumpla (x; y) 2 A  B, luego x 2 A ^ Y 2 B, por lo tanto
x 62 AC _ y 62 BC
lo cual es imposible, luego
(x; y) 2 (A  B)C
2
3. Dados a; b 2R no nulos, pruebe V = f(x; y) 2 R2 : ax + by = 0g, con las operaciones usuales, es un
espacio vectorial.
Prueba: Para demostrar que V es un espacio vectorial con las operaciones usuales de adicion y
multiplicacon se debe cumplir los 10 axiomas
a) Demostrando la ley de clausura
Sean (x1; y1) 2 V; (x2; y2) 2 V ,entonces se debe cumplir que
ax1 + by1 = 0 y ax2 + by2 = 0 sumando tenemos a(x1+ x2) + b(y1 + y2) = 0 entonces
(x1 + x2; y1 + y2) 2 V
pero (x1 + x2; y1 + y2) = (x1; y1) + (x2 + y2) 2 V
b) Demostrando la conmutatividad
Sean (x1; y1) 2 V y (x2; y2) 2 V entonces
(x1; y1) + (x2; y2) = (x1 + x2; y1 + y2) 2 V entonces a(x1 + x2) + b(y1 + y2) = 0
(x2; y2)+(x1; y1) = (x2+x1; y2+y1) 2 V entonces a(x2+x1)+b(y2+y1) = 0 = a(x1+x2)+b(y1+y2)
por lo tanto (x1; y1) + (x2; y2) = (x2;y2) + (x1; y1)
c) Demostrando la Asociatividad
Sean (x1; y1) 2 V; (x2; y2) 2 V y (x3; y3) 2 V entonces
[(x1; y1)+(x2; y2)]+(x3; y3) = (x1+x2+x3; y1+y2+y3) 2 V ! a(x1+x2+x3)+b(y1+y2+y3) = 0
(x1; y1)+[(x2; y2)+(x3; y3)] = (x1+x2+x3; y1+y2+y3) 2 V ! a(x1+x2+x3)+b(y1+y2+y3) = 0
por lo tanto [(x1; y1) + (x2; y2)] + (x3; y3) = (x1; y1) + [(x2; y2) + (x3; y3)]
d) Demostremos la existencia delelemento neutro aditivo
El vector (0; 0) 2 V pues a:0 + b:0 = 0 se verica esta igualdad
tambien (x1; y1) + (0; 0) = (x1 + 0; y1 + 0) = (x1; y1)
e) Demostremos la existencia del elemento neutro aditivo
Sea (x1; y1) 2 V ! ax1 + by1 = 0 ahora debemos probar que 􀀀(x1; y1) = (􀀀x1;􀀀y1) 2 V
como ax1 + by1 = 0 multiplicando por 􀀀1 se tiene a(􀀀x1) + b(􀀀y1) = 0 es decir (􀀀x1;􀀀y1) 2 V
ahora veamos que(x1; y1) + (􀀀x1;􀀀y1) = (x1 + (􀀀x1); y1 + (􀀀y1)) = (0; 0)
f) Veriquemos la multiplicacion por un escalar
Sea (x1; y1) 2 V r 2 R entonces
como (x1; y1) 2 V ! ax1 + by1 = 0 multiplicando por r se tiene a(rx1) + b(ry1) = 0 entonces
(rx1; ry1) = r(x1; y1) 2 V
g) Demostremos la existencia del elemento neutro multiplicativo
Sea (x1; y1) 2 V ! ax1 + by1 = 0 = a(1:x1) + b(1:y1) = 0 ! (1:x1; 1:y1) =...