Primera Deriva

LA PRIMERA DERIVADA Y LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN
DEFINICIÓN: Una función y=f(x) se dice que es una función creciente sobre un intervalo de valores de x si y crece al incrementarse la x. Esto es, si x1y x2 son dos valores cualesquiera en el intervalo dado con x2>x1, entonces f(x2)>f(x1).
Una función y=f(x) se dice que es una función decreciente sobre un intervalo de su dominio y decrece alincrementarse la x. Es decir, si x2>x1 son dos valores de x en el intervalo dado, entonces f(x2) < f(x1).
TEOREMA 1
Si f(x) es una función creciente que es diferenciable, entonces f’(x) ≥ 0.
Si f(x) esuna función decreciente que es diferenciable, entonces f’(x) ≤ 0.
y y


f(x2)-------------------------- f(x1) ------------------------------

f(x1) ---------------f(x2) ------------------------------

0 x1 x2 x 0 x1x2 x
X2 > x1; f(x2) > f(x1) (b) x2 > x1; f(x2) < f(x1)

EJEMPLO:
Determine los valores de x en los cuales la función f(x) = x3 - 3x crece o decrece.
Solución:Tenemos que f’(x) = 3x2 – 3 = 3(x-1) (x+1). Con objeto de determinar el intervalo en que f(x) crece, hacemos f’(x) > 0, esto es,
3(x – 1) (x + 1) > 0
El procedimiento consiste en examinar los signos delos factores (x – 1) y (x + 1). El factor (x – 1) es positivo si x>1 y negativo en el caso de que x-1 y negativo para x0 3(0)2 – 3 = -30

CrecienteDecreciente Creciente

Vemos que f’(x) > 0 en (-∞, -1) y en (1, ∞), así que f es una función creciente de x en cada uno de esos intervalos. En (-1, 1), f’(x) f(x) para toda x...