Probabilidad Condicional

PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA
Def. Si A y B son dos eventos se define la P(A/B) como la probabilidad de que ocurra el evento A cuando el evento B ya ocurrió o se tiene la certeza que ocurrirá.
P(A/B) = [P(A Π B)]/ [P(A)] ; P(B) ≠0
P(B/A) = [P(B Π A)]/ [P(B)] ; P(A) ≠0
Teorema: Regla de la multiplicación.
Si A y B son dos eventos, entonces:
P(A Π B)= P(B) P(A/B)
P(A Π B)= P(A)P(B/A)
Ejemplo:
Se lanzan dos dados y se definen los siguientes eventos:
A: El primer dado es par.
B: El segundo dado es 4.
C: El primer dado es 3.
Calcular:
A) P(A/B) B) P(B/C) C) P(A/C) D) P(C/A) E) P(A) F) P(B)
G) P(C) H) P(A´) I) P(B’ )

A) P(A/B)= [P(B Π A)]/ [P(B)] = (3/36) / (6/36)= ½
B) P(B/C)= [P(B ΠC)]/ [P(C)] = (1/36) / (6/36)= 1/6
C) P(A/C)= [P(A Π C)]/ [P(C)] = 0 / (6/36)= 0
D) P(C/A)= [P(C Π A)]/ [P(A)] = 0 / (1/2)= 0
E) P(A)= 18/36= ½
F) P(B)= 6/36= 1/6
G) P(C)= 6/36=1/6
H) P(A´)=1-P(A)=1/2
I) P(B’)= 1- P(B)= 5/6

Ejemplo 2
Una revista de noticias publica 3 columnas tituladas A,B,C. Los hábitos de lectura de un lector elegido al azar con respecto a estas columnas.
Prob. A B CP(A Π B)] P(A Π C) P(B Π C) P(A Π C ΠC)
0.14 0.23 0.37 0.08 0.09 0.13 0.05

a) Dibujar el diagrama de Veen
b) P(A/B)
c) P(A/B U C)
d) P(A/ Lee por los menos una)

a)






b) P(A/B)= [P(B Π A)]/ [P(B)]= 0.08/0.23= 0.34
c) P(A/ BUC)= (0.03+0,05+0.04)/ P(BUC)= (0.12)/[ P(B) + P(C) - P(B Π C)]= (0.12)/(0.23+0.37-0.13)= (0.12/0.47)= 0.25
d) P(A/lee por los menos una) = P(A/ AUBUC)=P[AΠ (AUBUC)] / P(AUBUC)= P(A) / 0.49= 0.14/0.49= 0.25
P(AUB/C)= P[AUB(ΠC)]/ P(C) = (0.04+0.05+0.08)/ (0.37)= 0.17/0.37= 0.45





EVENTOS INDEPENDIENTES
DEF. Dos eventos son A y B son independientes si la probabilidad de P(A/B) es igual a la P(A) y también a la P(B), es decir, la ocurrencia o no ocurrencia de un evento no modifica en nada la probabilidad de que ocurra el otro. Esto es:P(A/B)=P(A) P(B/A)=P(B ) Ev. Independientes
Teorema:
Dos eventos A y B son independientes solo y si:
P(AΠC)= P(A)P(B)
Demostración
P(A/B)= P(AΠB) / P(B)=> P(AΠB)= P(B) P(A/B)
Ejemplo:p
Sean A y B dos eventos asociados a un exp. Suponga que la P(A)=0.4, la P(AUB)=0.7 y P(B)=k.
A) Cual debe ser el valor de K para que sean excluyentes.
B) El valor de k para que A y B seanindependientes.

a) Excluyentes
P(A)=0.4 P(AUB)=0.7 P(B)=k
P(AΠB)= P(A) + P(k) – P(AUB)
0=0.4 + k – 0.7
K= 0.7 – 0.4= 0.3


b)Independientes P(AΠB)= P(A) P(B)
P(AUB)= P(A) + P(B) – P(AΠB)
0.7=0.4+k-P(A)P(B)
0.3= k-(0.4)k 0.3=0.6k k= =0.3 / 0.6= 0.5
TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL
Sean los eventos B1, B2…. Bn, una colección de eventos excluyentes entonces para cualquier otro evento A se obtieneP(A)= [P(AΠB1)U P((AΠB2)U…….U P(AΠBn)]

P(A)= ∑ P(A Π bi) P(A/B)= P(AΠB) / P(B)=> P(AΠB)= P(B) P(A/B)

Por lo tanto, P(A)= [P(B1) P(A/B1)] +[ P(B)P(A/B2)]+ ……+[P(Bn)P(A/Bn)]
P(A)= ∑ P(Bi)P(A/B)
TEOREMA DE BAYES
Sean los eventos B1 y B2 hasta Bn. Una colección colectivamente exhaustiva del espacio muestral S, y sea A otro evento. Entonces:
P(Bi/A)= P(BiΠA) / P(A) =[P(Bi) P(A/Bi)] / [∑ P(Bk)P(A/Bk)]

P(Bi/A)= [P(Bi) P(A/Bi)]/ [[P(B1) P(A/B1)] +[ P(B)P(A/B2)]+ ……+[P(Bn)P(A/Bn)]
Ejemplo: Una fábrica de artículos eléctricos recibe refacciones de 3 proveedores conocidos como A, B, C de acuerdo con las pruebas de calidad que realice la fabrica se sabe que el 10% de las partes recibidas de A no satisface las especificaciones, mientras que por parte de B y...