Probabilidad Condiconal Y Teorema De Bayes1

PROBABILIDAD CONDICONAL Y TEOREMA DE BAYES

Prof.: MSc. Julio Rito Vargas A.
Definición de Probabilidad Condicional: Para dos eventos cualesquiera A y B en un
espacio muestra Ω, tales que P(B) > 0 con P(B)> 0, la probabilidad del evento A dado el
evento B, se define por :
( ⁄ )
En general P(A/B) es diferente a la P(B/A).

Ejemplo 1: Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de unabolsa que
contiene 10 semillas de flores rojas y 5 de flores blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que:
a. La primera semilla sea roja?
b. La segunda semilla sea blanca dado que la primera fue roja?
Solución:
a. La probabilidad de que la primera semilla sea roja es P(R1)=10/15 , puesto que hay
10 semillas de flores rojas de un total de 15. Escrito con notación de probabilidad
tenemos: P(R1)=10/15.b. La probabilidad de que la segunda semilla sea blanca se ve influida por lo que salió
primero, es decir esta probabilidad está sujeta a una condición, la de que la
primera semilla sea roja. Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad
condicional y se denota por P(B2/R1) , y se lee: la probabilidad de B2 dado R1.
Esta probabilidad P(B2/R1)=5/14 , puesto que todavía hay 5 semillas blancasen un total de
14 restantes.
Veamos la situación en un diagrama de árbol:
P(B1 ) : probabilidad de sacar una semilla blanca en la primera extracción.
P(B2): probabilidad de sacar una semilla blanca en la segunda extracción.
P(R1): probabilidad de sacar una semilla roja en la primera extracción.
P(R2): probabilidad de sacar una semilla roja en la segunda extracción.

Primera extracción:
P(R1) =10/15

Segunda Extracción:
P(R2/R1)= 9/14
P(B2/R1)= 5/14

P(B1) = 5/15

P(R2/B1)= 10/14
P(B2/B1)= 4/14

Ejemplo 2:
p(A

Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3,

∩ B)= 1/4. Determinar:
a.
b.
c.
d.
e.

P(A/B)
P(B/A)
P(AυB)
P(Ac/Bc)
P(Bc∩Ac)

Ω
A

1/12
1/4

1/4

Solución:
a.

( ⁄ )

b.

( ⁄ )

c. P(AυB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.5 + 0.333… – 0.25= 0.5833…

B
5/12

d. P(Ac/Bc)=
c

c=0.625
c

c

c

e. P(B ∩A )=P(A )+P(B )-P(A υBc)=0.5 + 0.667 – 0.75=0.417
Se debe saber las siguientes leyes:
P(AυB)c = P(Ac∩Bc)
P(A∩B)c=P(AcυBc)
P(Ω)= 1
P(AC)=1 – P(A)

Ejemplo 3: Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres
automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con
problemas de carrocería, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres conproblemas mecánicos y uno con problemas de carrocería.

(M)añana
(T)arde
total
a.
b.
c.
d.

(E)lectrecidad
3
2
5

Mecá(N)ico
8
3
11

Calcular el porcentaje de los que acuden por
Calcular el porcentaje de los que acuden por
Calcular la probabilidad de que un automóvil
acuda por la mañana.
Calcular la probabilidad de que un automóvil
acuda por la tarde.

(C)arrocería
3
1
4

la tarde.
problemasmecánicos.
con problemas eléctricos
con problemas mecánicos

Solución
a.
b.
c.
d.

total
14
6
20

P(T)= 6/20 = 0.30x100= 30%
P(N)= 11/20 = 0.55x100= 55%
P(M/E)= P(M∩E)/P(E) = 3/20/5/20 = 3/5 =0.60x100= 60%
P(T/N)= P(T∩N)/P(N) = 3/20/11/20 = 3/11 =0.2727x100= 27.3%

Ejemplo 4: En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los
alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10 % practicaambos deportes. Si
además hay un 60% que no juega al fútbol, cuál será la probabilidad de que
escogido al azar un alumno de la clase:
a.

Juegue sólo al fútbol (F)

b.

Juegue sólo al baloncesto (B)

c.

Practique uno solo de los deportes

d.

No juegue ni al fútbol ni al baloncesto

e.

Que juega futbol dado que ya juega baloncesto.

Solución:
F
30

a.
b.
c.
d.
e.

B
10

20

40

P(F-B) = 30%P(B-F)= 20%
P[(F-B)υ(B-F)]=P(F-B)+P(B-F)= 30%+20%= 50%
P(Fc∩Bc) =P(FυB)c=40%
P(F/B)= P(F∩B)/P(B) = 10%/30% = 0.333

Eventos Independientes: Cuando A y B son dos eventos con probabilidades positivas, hemos visto
que en general la probabilidad condicional del evento B dado el evento A es diferente de la
probabilidad del evento B. Sin embargo, cuando se tiene la igualdad: P(B/A) = P(B)es de especial...