Probabilidad y estadistica

Inferencia basada en dos muestras

Unidad 1


Ejemplos
• Comparación de los ingresos de los
egresados de una universidad y los ingresos de personas que nunca tuvieron estudios superiores. Comparación de la hipertrofia del ventrículo izquierdo en animales alimentados con y sin condiciones estresantes. Comparar el efecto de dos drogas en pacientes con hipertensión arterial.

•

•Laura A. Gonzalez

Ejemplos
• • •
Comparación de los niveles de monóxido de carbono en aire entre la mañana y la tarde en una ciudad. Comparación de las presiones de llenado de botellas de gaseosas de dos máquinas diferentes. Comparación de los porcentajes de lecturas positivas para una virosis en pruebas Elisa estándar y DAS-Elisa.


Inferencia basada en dos muestras
Dadas las muestras:m1={X11, X21,…, Xn1} m2={X12, X22,…, Xn2} y

el objetivo de la inferencia puede ser: • Estimar la diferencia entre las medias de las poblaciones de las cuales proceden (µ1-µ2) y µ µ

Laura A. Gonzalez

Inferencia basada en dos muestras
• Contrastar hipótesis sobre esta
diferencia Si el contraste es bilateral:

H 0 : µ1 = µ2
O bien:

vs.

H1 : µ1 ≠ µ2

H 0 : µ1 − µ2 = 0

vs. H1 : µ1− µ2 ≠ 0



Inferencia basada en dos muestras
Si el contraste es unilateral derecho:

H 0 : µ1 = µ2 vs. H1 : µ1 > µ 2
Si el contraste es unilateral izquierdo:

H 0 : µ1 = µ2 vs. H1 : µ1 < µ2



Caso normal
Se pueden distinguir cuatro situaciones: • m1 y m2 son muestras independientes •Poblaciones con varianzas conocidas •Poblaciones con varianzas desconocidas pero iguales•Poblaciones con varianzas desconocidas pero diferentes

• m1 y m2 son muestras dependientes
(valores apareados)



Caso normal: muestras independientes, varianzas conocidas
La inferencia se basa en el siguiente estadístico:

(X Z=

1

− X 2 ) − ( µ1 − µ2 ) σ σ  +    n1 n2 
2 1 2 2

~ N (0,1)

Es una situación de interés teórico porque usualmente las varianzas son desconocidasCaso normal: muestras independientes, varianzas desconocidas pero iguales
La inferencia se basa en el siguiente estadístico:

(X T=

1

− X 2 ) − ( µ1 − µ2 ) 1 1  S  +   n1 n2 
2 p

Grados de libertad

~ Tn1 + n2 − 2
2 (n1 − 1) S12 + (n2 − 1) S 2 2 Sp = n1 + n2 − 2

La prueba de hipótesis para la diferencia de medias basada en este estadístico se conoce como prueba T paramuestras independientes cuando las varianzas son homogéneas



Caso normal: muestras independientes, varianzas desconocidas pero iguales
El intervalo de confianza bilateral, para la diferencia de medias está dado por:

( x1 − x2 ) ± t n + n −2; 1− α 
 
1 2

 2 

1 1 s  +   n1 n2 
2 p



Ejemplo
El gerente de una empresa desea estudiar los efectos de la motivación de losempleados en las ventas de sus productos. De 24 agentes de ventas nuevos, 12 reciben sueldo y 12 reciben comisión. Las hipótesis de esta prueba son: H0: µS= µC versus H1: µS ≠ µC Para probar las hipótesis se diseña un ensayo en el que los 24 individuos se asignaron al azar en los dos grupos.



Ejemplo
La variable es el volumen de ventas en miles de pesos. Los resultados del ensayo son lossiguientes:
Retribución Sueldo Comisión n 12 12

X
227.58 247.92

S2 191.54 466.08



¿Cómo saber si las varianzas son
iguales o diferentes?
Suponiendo normalidad para las observaciones de las muestras m1 y m2, la prueba de homogeneidad de varianzas se basa en el siguiente estadístico:

s F= ~ F( n1 −1,n2 −1) s

2 1 2 2



Prueba para homogeneidad de varianzas

H0 :σ = σ
2 12 2

versus

H1 : σ ≠ σ
2 1

2 2

191.54 F= = 0.41 466.08

Bajo H0 se distribuye como una F con 11 y 11 grados de libertad



Prueba F
La región de aceptación para un nivel de significación del 5% está delimitada por 0.27 y 3.53, correspondientes a los cuantiles α/2 y 1-α/2, respectivamente α

0.00

1.41

2.81

4.22

5.63

0.27

3.53



Tabla F
10 1 2 3 4...