Probabilidad

EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDADES Y ESTADISTICA
VARIABLES ALEATORIAS VALOR ESPERADO Y VARIANZA
Profesor: Ken Matsuda Oteíza
1.- Un fabricante produce artículos de tal modo que el 15% son defectuosos y el 85% no
lo son. Si se produce un artículo defectuoso, el fabricante pierde 100 pesos, y si
produce un artículo no defectuoso, la utilidad es de 500 pesos. Si definimos a X como
lavariable aleatoria utilidad por articulo, calcular el valor esperado y la desviación
estándar de la utilidad.
SOLUCIÓN
Por definición del valor esperado (E(X))
− 100 en el caso de perdida
La variable aleatoria X = 
 500 en el caso de utilidad
Pi la probabilidad
2

E ( X ) = ∑ X i Pi = 0.15 * (−100) + 0.85 * (500) = 410
i =1

Por lo tanto el valor esperado de utilidad en la producción deun artículo es de 410 pesos
Desviación estándar de la utilidad por artículo:

Desviación est an dar = σ = Varianza = E ( X 2 ) −  E ( X ) 



2

2

E ( X 2 ) = ∑ X i2 Pi = (−100)2 *0.15 + (500) 2 * 0.85 = 214000
i =1

σ = 214000 − (410) 2 = 214.2 Pesos
Por lo tanto cada artículo producido tiene una utilidad de $410, con una desviación
estándar de $214,2
2.- supóngase que unfabricante produce cierto tipo de aceite lubricante, este aceite
pierde ciertas propiedades si no se utiliza en cierto rango de tiempo. Definimos como
X el número de unidades pedidas por un cliente durante cada año (la unidad es de 1000
galones) supóngase a X una variable aleatoria continua distribuida uniformemente en
el
intervalo [1
5].
La función densidad de probabilidad tiene la forma1
 si 1 ≤ x ≤ 5
f ( x) =  4
0 para cualquier otro valor

Supóngase que para cada una de las unidades vendidas se obtiene una utilidad de
300000 pesos, mientras que por cada una de las unidades no vendidas durante un año
produce una perdida de 100000 pesos, supóngase que el fabricante debe decidir al
comienzo del año cuantas unidades debe producir (valor esperado) Y con que
desviaciónestándar.

SOLUCION
Como es considerada una distribución continua, el valor esperado se encuentra de la
siguiente forma:
∞

∞
1
1 X2
E ( X ) = ∫ Xf ( X )dX = ∫ 0 * XdX + ∫ XdX + ∫ 0 * XdX = *
−∞
14
5
42
−∞
1

5

5

=
1

(

12 2
5 −1
8

)

1
E ( X ) = (24) = 3
8
La desviación es tan dar es :
∞

∞
12
1 X3
2
E ( X ) = ∫ X f ( X )dX = ∫ 0 * X dX + ∫ X dX + ∫ 0* X dX = *
14
5
−∞
43
−∞
2

E( X 2 ) =

2

1
(124) = 10.33
12

1

2

5

5

()

=
1

(

1
125 2 − 12
12

Desviación es tan dar = σ = Vaeianza = E X 2 − [E ( X )] = 10.33 − 3 2 = 1.15
2

Por lo tanto el fabricante espera vender 3 unidades, con una desviación estándar de 1,15
unidades.
3. -Supóngase que al manufacturar un artículo, la probabilidad de queresulte defectuoso
es del 20%. Si en su línea de producción en un momento determinado se selecciona al
azar una muestra de 6 artículos de
a. 3 sean defectuosa
b. menos de tres sean defectuoso.
c. más de uno sea defectuoso.
SOLUCIÖN
a. p=0,2
La probabilidad de que tres sean defectuosos al extraer la muestra de seis, se calcula
como sigue (distribución binomial):
a. p = 6 C3 * p 3 * q 3 = 20 *0.830.83 = 0.0819 = 8.19%

b. Menos de tres
p = P( x = 0 defectuosos ) + p ( x = 1 defectuosos ) + p ( x = 2 defectuosos )
p = 6 C0 * 0.20 * 0.86 + 6 C1 * 0.21 * 0.85 + 6 C2 * 0.2 2 * 0.84
p = 0.2621 + 0.12288 + 0.24576 = 0.63074 = 63.07%
c. mas de uno defectuoso
P = P( x = 2) + p ( x = 3) + p ( x = 4) + p ( x = 5) + p ( x = 6) = 1 − p ( x = 0) − p ( x = 1)
p = 1 − 0.2621 − 0.12288 =0.61502 = 61.5%
4.-. En un conjunto de 10 canicas, 8 son rojas y dos son verdes. De una muestra de 5
canicas con reposición, calcúlese la probabilidad de que:
a. tres canicas sean rojas

)

b. menos de una sea verde
c- Calcule las mismas probabilidades considerando que el muestreo es sin reposición
SOLUCIÓN
C* C
a. . p = 8 3 2 2 = 0.2222 = 22.22%
10 C5
b. p = p ( x = 0) =

8

C5...