Problemas resueltos algebra linea

Problemas resueltos

Luis Zegarra Agramont

ALGEBRA LINEAL Problema 1. Dado el sistema B"  +B#  B$  B% œ , B"  ,B#  #B$  B% œ  B"  -B#  #B$  #B% œ + B"  B #  B $  B % œ +  ,  i) Determine los valores de +ß , y - para que el sistema dado admita como solución a: Ô"× Ô "× Ö#Ù Ö !Ù \ œ Ö Ù  >Ö Ù, para un valor del parámetro > fijo. ! " Õ"Ø Õ #Ø

ii) Determine condiciones entre+ß , y - para que el sistema dado tenga solución exáctamente con un parámetro, luego encuentre una solución particular y la solución del sistema homogeneo asociado en este caso. Solución. Ô"× Ô "× Ô "> × Ö#Ù Ö !Ù Ö # Ù i) \ œ Ö Ù  > Ö ÙÊ\œÖ Ùß qué \ sea solución del sistema ! " > Õ"Ø Õ #Ø Õ "  #> Ø dado es que lo satisfaga es decir, Ô Ö Ö " " " Õ " + , " " # # " "×Ô "  > × Ô , ×  " ÙÖ #Ù Ö Ù ÙÖ ÙœÖ ÙÍ # > +  " Ø Õ "  #> Ø Õ +  ,  - Ø #+  , + œ# #,  -  > œ !  #-  $> œ " +  ,  -  %> œ #

Resolviendo resulta: + œ

#$ " "$ * ß ,œ  ß -œ  y >œ ## "" ## ##

ii) Se debe anular una fila completa de la siguiente matriz, para obtener exáctamente un parámetro en la solución, Ô Ö Ö " " " Õ " Ô" Ö! Ö Ö! Õ! + , " " # # " " " # " ! ! " ! ã , × ã Ù Ùµ † † † ã + ã+,-Ø ! " ! ! ã ã ã ã
" $ a#,

Ð+  #,  #-  " œ ! • $a+  - b œ !Ñ Ê + œ  - • , œ  " a-  "b así # resulta la solución
" Ô $ a#,  - b × Ô Ö Ù Ö ! Ù  >Ö \œÖ" Ö a$-  "b Ù Ö

 " a#+  - b $ ," $ a+  $,  #- b +  #,  #-  "

 +b × Ù +Ùß luego se debe tener " a#+  ,  $- b Ù $ Ø $a+  - b

Õ

'

!

Ø

 "- × $ Ù " Ùß > parámetro. " a-  $b Ù ' Õ  " a-  "b Ø #

Problema 2.Dado el sistema #B"  B#  B$ $B"  B#  B$  B%  B& œ œ ' :

B"  B#  (B$  5B%  %B& œ  $

a) Determine 5 y : de modo que \F œ ÖB# ß B% ß B& ×ß y en este caso obtenga P y Y. b) Resuelva por PY para la base \F œ ÖB# ß B$ ß B& × Solución. a) \F œ ÖB# ß B% ß B& × Ê F œ no Ô " " Õ " ! 5 " "×  % , la exigencia de \F supone F !Ø

singular Í lBl Á 0 Í $  5 Á ! Í 5 Á $

" " Se debe hacerpréviamente T F œ Õ " Ô" ! Õ!

Ô

! " 5

"× Ô" ! ß con T œ ! Õ! %Ø !× ! "Ø

! ! "

!× " !Ø

con el fín de no imponer condiciones no necesarias para 5ß excepto 5 Á $ß así Y œ ! " ! "× Ô " " y Pœ " Ø Õ " 5$ ! " 5

b) Nótese que la matriz F asociada a la base \F œ ÖB# ß B$ ß B& × es singular, por lo que es imposible resolver el sistema con esta exigencia. Problema 3. Ô" Ö# Ö E œÖ$ Ö % Õ& # $ % & ' $ & ( * "" * × "% Ù Ù "* Ù Ù #% #* Ø

Dada la matriz

a) Determine una base para el subespacio M7 E. b) Determine una base para el subespacio O/< E  [ ß donde [ œ ÖaBß Cß Dß >b Î #B  C  #> œ ! ×

Solución. Ô" Ö# Ö E œ Ö$ Ö % Õ& a) El espacio M7 E está generado por los vectores columna de Eß entonces # $ % & ' $ & ( * "" * × Ô1 "% Ù Ö ! Ù Ö "* Ù µ Ö ! Ù Ö #% ! Ø Õ! #* #" # $ % $ " # $ % * × Ô" # $ *×  % Ù Ö! " " "Ù Ù Ö Ù  ) Ù µ Ö ! ! ! ! Ù a‡b Ù Ö Ù  "# ! ! ! !  "' Ø Õ ! ! ! ! Ø

luego, una base para M7 E es {a"ß #ß $ß %ß &bß a#ß $ß %ß &ß 'b× b) De a‡bß O/< E œ Ö aBß Cß Dß >b Î B  D  (> œ ! CD>œ! ×

por tanto

O/< E  [ œ Ö aBß Cß Dß >b Î B  D  (> œ !

CD>œ!

#B  C  #> œ ! ×

Ô" Así, a ! − O/< E  [ Í ! œ aBß Cß Dß >b Î ! Õ#

!" " " " !

( " #

ã !× ã ! ã !Ø

con lo que O/< E  [ œ   Öa  %ß "%ß  "(ß $bס y una base del subespacio O/< E  [ , es Öa  %ß "%ß  "(ß $b×.

% "% "( de donde resolviendo se obtiene, B œ  >ß C œ >, D œ  > $ $ $

Problema 4. En T# sobre ‘, dadas las bases W" œ Ö "ß "  >ß a"  >b# × y W# œ Ö #  >ß $ß "  ># ×

a) Determine la matriz T de cambio de base, de: W# Ä W" Þ b) Si[:a>bÓW# Solución. a) Ô "! × œ #! ß determine: :a>b y Ò:a>bÓW1 Õ $! Ø

#  > œ $ † "  a  "b † Ð"  >Ñ  ! † a"  >b# Ô #× # ß "Ø

b) De inmediato :a>b œ "! † a#  >b  #! † $  $! † a"  ># b œ ""!  "!>  $!># ""!  "!>  $!># œ "&! † "  Ð  (!Ñ † Ð"  >Ñ  $! † a"  >b# Ê Ò:a>bÓW1 œ Ô "&! ×  (! Õ $! Ø por tanto se debe tener

$ " de donde T œ Õ !

"  ># œ # † "  a  #b † Ð" ...