ProcesoPoisson

Aproximación Poisson a la distribución binomial

Si n es “grande” y p es “pequeño” tenemos la siguiente aproximación:


Teorema
Si n y p0 en forma tal que npa entonces C(n,k) pkqnk  ea ak / k!

Demostración
Definimos an = np así que ana. Tenemos que:

= ▼
Ejemplo
Se distribuyen al azar n bolillas entre n cajas. ¿ Cual es la probabilidad de encontrar k bolillas en una dadacaja ?
C(n,k) (1/n)k (1 1/n)nk  e1 / k!

Ejemplo
Durante la segunda guerra mundial cayeron sobre Londres 537 bombas voladoras. El área afectada fué dividida en 576 sectores iguales. Sea Nk el número real de sectores en los cuales cayeron k bombas. Suponiendo que las bombas cayeron al azar, el número esperado de bombas por sector es 537/576= 0.932. La probabilidad que caigan k bombas en unsector, según la aproximación Poisson , es Pk= e0.932 (0.932)k / k! La tabla adjunta muestra la comparación entre real y teórico:

k
0
1
2
3
4
5
Nk
229
211
93
35
7
1
576 Pk
226
211
99
31
7
2

Proceso Poisson
A lo largo del eje positivo del tiempo (t>0) se presentan aleatoriamente eventos. Por ejemplo, una sustancia radioactiva emite partículas o llegan llamadas a una central telefónica. Elmodelo más simple para describir este tipo de proceso es el que se describe a continuación.

Para 0u
Haremos las siguientes hipótesis.

I) El proceso es homogéneo con respecto al tiempo:
P{A(u,t]} = Pk(tu)

II) Lo que ocurre en intervalos disjuntos es independiente:
Ak(u,t] y Ak(t,v] son independientes.

III) La probabilidadque se presenten simultáneamente 2 o más eventos es imposible. Esto se puede expresar imponiendo la condición de que la probabilidad que se presenten 2 o mas eventos en el intervalo (0,t] ,dado que se presentó un evento en dicho intervalo, tiende a 0 con t. Esto es equivalente a la condición:


Demostraremos que I), II) y III) implican que

Pk(t)= et (t)k / k! (A)Demostración
Realizaremos la demostración en 4 pasos.

1) De la definición de Ak(u,t] resulta:

Ak(0,t+s] = Ak(0,t]  A0(t,t+s] + Ak1(0,t]  A1(t,t+s] + ... + A0(0,t]  Ak(t,t+s]

De los axiomas I) y II) resulta :

Pk(t+s) = Pk(t) P0(s) + Pk1(t) P1(s) + ... + P0(t) Pk(s) (B)

2) Demostraremos que

P0(t)= et donde >0. (C)

De (B) resulta para k=0 que P0(t+s) = P0(t) P(s). Esto muestraque P0(t) es no creciente. Además, si r y s son enteros positivos deducimos que:
P0(r/s) = [P0(1/s)]r
Para el caso particular r=s se deduce P0(1/s) = [P0(1)]1/s . Reemplazando:
P0(r/s) = [P0(1)]r/s
Como P0(t) es no creciente debemos tener 0P0(1)1.
P0(1)= 1 implica P0(t) = 1 para t racional lo que contradice III)
P0(1)= 0 implica por (B) P1 (t+s)=0 lo que tambien contradice III)
Por lo tanto,existe >0 tal que P0(1) = e. Esto demuestra (C) para t racional.
Sea t>0 un número real y dos sucesiones de numeros racionales tales que rn t y sn t entonces:
exp(rn)  P0(t)  exp(sn)
Tomando el límite queda demostrado (C).

3) De (C) resulta:

[1P0(t)] / t   cuando t0 (D1)

Aplicando este resultado en III) resulta:
P1(t) / t   cuando t0 (D2)

Finalmenteobservamos que 0  P0(t) + P1(t) + Pk(t)  1. De donde:
0  Pk(t) / t  P1(t) / t + [1P0(t)] / t . De donde:

Pk(t)/ t  0 cuando t0 (k2) (D3)

4) A partir de (B) obtenemos:


Haciendo s0 y teniendo en cuenta (D1), (D2) y (D3) resulta:
P’k(t) =  Pk(t) +  Pk1(t)  et [P’k(t) + Pk(t)] =  et Pk1(t)

El primer miembro es la derivada de et Pk(t). Integrando resulta:



Para k=1se obtiene P1(t) = t et. Por inducción resulta (A) 

Interpretación de 
Llamemos (t) = número de eventos en el intervalo (0,t]. Para cada t, (t) es una variable aleatoria con distribución Poisson. Tenemos que E{t} = t. Por lo tanto,  es el número esperado de eventos que se presentan en la unidad de tiempo.

Proceso Poisson (continuacion)
En el proceso Poisson llamemos n = instante...

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