producto cartesiano

Producto cartesiano
En matemáticas, el producto cartesiano de dos conjuntos es una operación, que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados, que pueden formarse tomando el primer elemento del par, del primer conjunto, y el segundo elemento, del segundo conjunto.
Por ejemplo, dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b}, su producto cartesiano es:

Elproducto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de la geometría analítica dio origen a este concepto.1
Índice
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1 Definición
1.1 Ejemplos
2 Generalizaciones
2.1 Caso finito
2.2 Caso infinito
3 Propiedades
4 Véase también
5 Referencias
6 Bibliografía
Definición[editar]
Un par ordenado es una colección de dos objetos distinguidos como primero y segundo, yse denota como (a, b), donde a es el «primer elemento» y b el «segundo elemento». Dados dos conjuntos A y B, su producto cartesiano es el conjunto de todos los pares ordenados que pueden formarse con estos dos conjuntos:
El producto cartesiano de A y B es el conjunto A × B cuyos elementos son los pares ordenados (a, b), donde a es un elemento de A y b un elemento de B:

Puede definirse entoncesel cuadrado cartesiano de un conjunto como A2 = A × A.


El conjunto Z2 puede visualizarse como el conjunto de puntos en el plano cuyascoordenadas son números enteros.
Ejemplos[editar]
Baraja francesa
Sean los conjuntos R = {A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K} y P = {♠, ♥, ♦, ♣} (los rangos y palos de la baraja inglesa). El producto cartesiano de estos conjuntos, B , es el conjunto detodas las parejas rango-palo:
B = R × P = {(A, ♠), (2, ♠), ..., (K, ♠), (A, ♥), ... (K, ♥), (A, ♦), ..., (K, ♦), (A, ♣), ..., (K, ♣) }
El conjunto B puede entenderse entonces como el conjunto de las 52 cartas de la mencionada baraja.
Números enteros
Sea el conjunto de los números enteros Z = {..., −2, −1, 0, +1, +2, ...}. El producto cartesiano de Z consigo mismo esZ2 = Z × Z = { (0,0), (0, +1),(0, −1), (0, +2), ..., (+1, 0), ... (−1, 0), ... }, es decir, el conjunto de los pares ordenados cuyas componentes son enteros. Para representar los números enteros se utiliza la recta numérica, y para representar el conjunto Z2 se utiliza un plano cartesiano (en la imagen).
Pintura y pinceles
Sean los conjuntos T de tubos de pintura, y P de pinceles:

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,




,
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,
,


Elproducto cartesiano de estos dos conjuntos, T × P, contiene todos los posibles emparejamientos de pinceles y tubos de pintura. De manera similar al caso de un plano cartesiano en el ejemplo anterior, este conjunto puede representarse mediante una tabla:






























Generalizaciones[editar]
Caso finito[editar]
Dado un número finito de conjuntos A1, A2,..., An, su producto cartesiano se define como el conjunto de n-tuplas cuyo primer elemento está en A1, cuyo segundo elemento está en A2, etc.
El producto cartesiano de un número finito de conjuntos A1, ..., An es el conjunto de las n-tuplas cuyo elemento k-ésimo pertenece a Ak, para cada 1 ≤ k ≤ n:

Puede definirse entonces potencias cartesianas de orden superior a 2, como A3 = A × A × A,etc. Dependiendo de la definición de n-tupla que se adopte, esta generalización puede construirse a partir de la definición básica como:

o construcciones similares.
Caso infinito[editar]
En el caso de una familia de conjuntos arbitraria (posiblemente infinita), la manera de definir el producto cartesiano consiste en cambiar el concepto de tupla por otro más cómodo. Si la familia está indexada,una aplicación que recorra el conjunto índice es el objeto que distingue quién es la «entrada k-ésima»:
El producto cartesiano de una familia indexada de conjuntos F = {Ai}i ∈ I es el conjunto de las aplicacionesf : I → ∪F cuyo dominio es el conjunto índice I y sus imágenes son elementos de algún Ai; que cumplen que para cada i ∈ I se tiene f(i) ∈ Ai:

donde ∪F denota la unión de todos los Ai....