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Introducción La geometría hiperbólica (o lobachevskiana) es un modelo de geometría que satisface solo los cuatro primeros postulados de la geometría euclidiana. Aunque es similar en muchos aspectos y muchos de los teoremas de la geometría euclidiana siguen siendo válidos en geometría hiperbólica, no se satisface el quinto postulado de Euclides sobre las paralelas. Al igual que la geometríaeuclideana y la geometría elíptica, la geometría hiperbólica es un modelo de curvatura constante: La geometría euclideana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero. La geometría hiperbólica satisface solo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa. La geometría elíptica satisface solo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvaturapositiva. La geometría hiperbólica ha cobrado gran importancia en las últimas décadas por su interrelación con diversas ramas centrales de la matemática. A principios de los años ochenta, Troels Jorgensen y William Thurston revolucionaron la topología al descubrir que la geometría hiperbólica constituye una poderosa herramienta en el estudio de las 3 - variedades y los nudos. Dennis Sullivan y Curt McMullen, por su parte, han encontrado un notable paralelismo entre la geometría hiperbólica y los sistemas dinámicos, el cual es evidente si comparamos el conjunto límite de un grupo kleiniano y el conjunto de Julia de una función racional. Por otro lado, la geometría hiperbólica incide de manera directa en la teoría de la relatividad, al ser el grupo de Lorentz precisamente el grupo de isometríashiperbólicas en el modelo del hiperboloide. En otro ámbito, el grupo clásico modulas y sus subgrupos son centrales en la teoría de los números así como en la geometría hiperbólica. Cabe destacar también que en el contexto de la variable compleja, cualquier super…cie de Riemann es el cociente de la acción discontinua de un grupo de Möbius en la esfera. La naturaleza del contenido del trabajo esbidimensional, sin embargo en diversas ocasiones se señalan generalizaciones a dimensiones mayores. El enfoque de dicho trabajo es analítico y no axiomático. El texto inicia con el estudio de las transformaciones de Mödius complejas actuando en la esfera; posteriormente se describen los grupos completos de isometrías hiperbólicas en los modelos del semiplano y del disco de Beltrami-Poincaré, así comoalgunas propiedades de los grupos discretos de PSL (2,C) y el carácter fractal de su conjunto límite. Concluye en el ámbito de las teselaciones con la construcción de las regiones fundamentales de Dirichlet y Ford. En el trabajo convergen diversos temas de álgebra moderna, análisis matemático, variable compleja y topología lo cual muestra que las matemáticas no es un conjunto de las ramas aisladassino que interactúan unas con otras.

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Transformaciones de Möbius complejas Se proyecta el plano complejo extendido a la esfera de Riemann, uno de los espacios naturales donde actúan las transformaciones de Möbius complejas, y de esta manera se introduce la métrica cordal. Posteriormente, estas funciones se identi…can con los elementos del grupo PSL (2,C) y se exhiben sus propiedadesbásicas. Mediante la conjugación a formas canónicas, se clasi…can y se muestran sus propiedades geométricas elementales. Finalmente, se caracterizan las transformaciones que preservan el semiplano superior y el disco unitario, y se establece la clasi…cación por la traza.

Proyección estereográ…ca y métrica cordal Def:Los puntos del plano complejo junto con 1 forman el plano complajo extendido, denotadopor C: El incluir es símbolo 1 es particularmente útil en el contexto de las transformaciones de Möbius complejas az + b z ! ; ad bc 6= 0; a; b; c; d C: cz + d Mostratemos que estas funciones son las únicas biyecciones meromorfas de C en C. La esfera unitaria, S2 = x R2 j jxj = 1 llamada esfera de Riemann, es el modelo requerido para incluir el punto al in…nito. Para asociar cada punto en el...