¿Qué es una ecuación diferencial?

C´
atedra 1-2-Mat208.
Profesora: Constanza del Campo.

¿Qu´
e es una ecuaci´
on diferencial?
Las leyes del universo est´an escritas en lenguaje de las matem´aticas. Los fen´omenos naturales m´as importantes implican cambios y se describen por medio de ecuaciones que relacione las
cantidades que cambian.
La derivada dx/dt = f ′ (t) de la funci´on f es la raz´on a la cual la cantidad x = f (t)est´a cambiando con respecto a la variable independiente t. Las ecuaciones que incluyen derivadas se usan
con frecuencia para describir el mundo cambiante. Una ecuaci´on que relaciona una funci´on desconocida y una o m´as de sus derivadas se llama ecuaci´
on diferencial.
Ejemplos de ecuaciones diferenciales:
1.

dx
dt

2.

d2 y
dx2

= x2 + t2
dy
+ 3 dx
+ 7y = 0

dy
3. x dx
+ 3y = 5x2

4. La ley deenfriamiento de Newton puede ser establecida en la forma siguiente: La tasa
de cambio de la temperatura T (t) de un cuerpo con respecto al tiempo t es proporcional a
la diferencia entre T y la temperatura A del medio ambiente. Esto es:
dT
dt

= k(T − A)

5. La ley de Torricelli indica que la tasa de cambio con respecto al tiempo del volumen V
del agua en un tanque que se vac´ıa es proporcional a lara´ız cuadrada de la profundidad y
del agua en el tanque:
dV
dt

√
=k y

6. La tasa de cambio con respecto al tiempo de un poblaci´on P (t) con tasa de mortalidad y
natalidad constante es proporcional al tama˜
no de la poblaci´on:
1

dP
dt

= kP

7. Modelo para el movimiento de un resorte. Este es un ejemplo de una ecuaci´on diferencial de segundo orden porque comprende segundas derivadas. La ley deHooke de la
mec´anica establece que la fuerza requerida para mantener estirado un resorte x unidades
m´as all´a de su longitud natural es proporcional a x
fuerza de restituci´on= −kx
donde k es una constante positiva. Si ignoramos cualquier fuerza externa de resistencia
entonces por la segunda ley de Newton (la fuerza es igual a la masa multiplicada por la
aceleraci´on), tenemos
2

m ddt2x =−kx.

Definici´
on 1. El orden de una ecuaci´
on diferencial es el orden de la derivada m´as alta que
aparezca en ella.
Definici´
on 2. Una ecuaci´on diferencial se dice que es lineal si tiene la forma:
n

d y
dy
an (x) dx
n + ... + a1 (x) dx + a0 (x)y(x) = f (x).

Ejemplos:
− xy + sin x = 0 es lineal de orden 1.

1. La ecuaci´on

dy
dx

2. La ecuaci´on

d2 y
dx2

− xy 3 + sin x = 0 es no lineal deorden 2.

3. La ecuaci´on

dy
dx

− (xy + sin x) 3 = 0 es no lineal de orden 1.

4

Definici´
on 3. Una ecuaci´on diferencial de dice ordinaria si la variable dependiente depende de
una sola variable independiente. Si la variable dependiente es una funci´on de dos o m´as variables,
la ecuaci´
on se llama ecuaci´on diferencial parcial.

⋆ EJERCICIOS
√
√
1. Verifique que la funci´on y(x) = 2 x − x ln xsatisface la ecuaci´on diferencial
2

4x2 y ′′ + y = 0
para todo x > 0.
2. Un cultivo de bacterias se inicia con 500 y crece con una rapidez proporcional a su tama`
no.
Despu´es de 3 horas, hay 8000 bacterias.
a) Halle una expresi´on para la cantidad de bacterias despu´es de t horas.
b) Encuentre la tasa de crecimiento despu´es de t horas.
3. Un recipiente de mantequilla, inicialmente a 25◦ C, secoloca para enfriarse en el p´ortico
principal, donde la temperatura es de 0◦ C. Sup´ongase que la temperatura de la mantequilla
se a reducido a 15◦ C despu´es de 20 minutos. ¿Cu´ando estar´ıa en 50 C?

Ecuaciones diferenciales de primer orden
(Soluci´on por variable separable)
La ecuaci´on diferencial de primer orden
dy
dx

= H(x, y)

se denomina separable si H(x, y) puede escribirse como elproducto de una funci´on de x y una
funci´on de y. Es decir
dy
dx

= H(x, y) = α(x)β(y) =

α(x)
γ(y)

Tenemos que:
dy
γ(y) dx
= α(x)

Es f´acil resolver este tipo de ecuaci´on. Simplemente integrando ambos miembros con respecto
a x:
∫
∫
dy
γ(y(x)) dx = α(x)dx
dx

Ejemplo:
Resolver la ecuaci´on diferencial

dy
dx

= −6xy.

Tenemos que
3

dy
y

De aqu´ı que

∫

= −6xdx

dy
=
y

∫
−6xdx

ln |y| =...