QUINTA UNIDAD VARIABLES BIDIMENSIONALES

ESTADÍSTICA 1 SECCION “C+ “

USAC
FACULTAD DE INGENIERÍA
ÁREA DE ESTADÍSTICA

Catedrático: Inga. Alba Guerrero Spínola.

QUINTA UNIDAD
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONJUNTA
VARIABLES BIDIMENSIONALES DISCRETAS
Si X y Y son dos variables aleatorias discretas, la distribución de probabilidad
para sus ocurrencias simultáneas se puede representar mediante una función
con valores f(x,y), para cualquierpar de valores (x,y) dentro del rango de las
variables aleatorias X y Y. Se acostumbra referirse a esta función como la
Distribución de probabilidad Conjunta de X y Y.
Debe cumplir con los siguientes axiomas:
1.
f(x,y)  0 para toda (x,y)
2.
  f(x,y) = 1
x y

3.

P(X = x, Y = y) = f(x,y)

Para cualquier región A en el plano xy, P[(X,Y) ∈ A ] =   f(x,y).
VARIABLES BIDIMENSIONALES CONTINUAS
SiX y Y son dos variables aleatorias Continuas, la función de densidad
conjunta f(x,y), es una superficie sobre el plano xy, y P[(X,Y) ∈ A ] donde A
es cualquier región del plano xy, es igual al volumen del cilindro recto limitado
por la base A y la superficie.
Debe cumplir con los siguientes axiomas:
f(x,y)  0 para toda (x,y)
ʃoo ʃoo f(x,y) dx dy = 1,

1.
2.

-oo

-oo

P[(X,Y) ∈ A ] = ʃAʃ f(x,y)dx dy

3.

Para cualquier región A en el plano xy.
DISTRIBUCIONES MARGINALES:
Dada la distribución de probabilidad conjunta f(x,y) de las variables aleatorias
discretas X y Y, la distribución de probabilidad g(x) de X sola se obtiene al
sumar f(x,y) sobre los valores de Y. De manera similar, la distribución de
probabilidad h(y) de Y sola se obtiene al sumar f(x,y) sobre los valores de X.
Definimosg(x) y h(x) como distribuciones marginales de X y Y
respectivamente.
Las distribuciones marginales de X sola y Y sola son
Para el caso discreto
,g(x) =  f(x,y)
y
h(y) =  f(x,y)
y

x

Para el caso continuo
,g(x) = ʃoo f(x,y) dy
-oo

h(y) = ʃoo f(x,y) dx

y

-oo

VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES
Sean X y Y dos variables aleatorias, discretas o continuas, con distribución de
probabilidadconjunta f(x,y) y distribuciones marginales g(x) y h(y)
respectivamente. Se dice que las variables aleatorias X y Y son
estadísticamente independientes si y solo sí:
,f(x,y) = g(x) h(y)
para toda (x,y) dentro de sus rangos.
ESPERANZA MATEMÁTICA PARA VARIABLES BIDIMENSIONALES
Sean X y Y variables aleatorias con distribución de probabilidad conjunta f(x,y).
La media o valor esperado de la variablealeatoria g(x,y) es
g(x,y) = E[g(x,y)] = ∑∑ g(x,y). f(x,y)

si X y Y son discretas

xy

=

∑ Pi X .Y

g(x,y) = E[g(x,y)] = -ooʃoo-ooʃoo g(x,y). f(x,y) dx dy

si X y Y son continuas

Si X y Y son dos variables aleatorias continuas con función de densidad
conjunta f(x,y), las medias o esperanzas de X ,Y son:
x = E(x) = -ooʃoo-ooʃoo x . f(x,y) dx dy
y = E(y) = -ooʃoo-ooʃoo y . f(x,y) dx dy

COVARIANZAMATEMÁTICA
Sean X y Y variables aleatorias con distribución de probabilidad conjunta f(x,y).
La covarianza de X y Y es
Cov (X,Y) = xy = E [ (X - x) (Y - y)]
=
= ∑∑ (X -  x) (Y - y) f(x,y)
discretas

Si X y Y son

x y

Cov (X,Y) = xy = E(XY) - [ E(x) E(Y)]
Donde
E(X) = ∑ X g(x)
E(Y) = ∑ Y h(y)
Cov (X,Y) = xy = E [ (X -  x) (Y - y)]
=
oo
oo
=-ooʃ -ooʃ
(X -  x) (Y - y) f(x,y) dx dycontinuas

Si X y Y son

teoremas importantes sobre la Covarianza:
1.
Cov (X,Y) = xy = E(XY) - [ E(x) E(Y)]
Cov (X,Y) = xy = E(XY) -  x y
Donde:
E(X,Y) = -ooʃoo-ooʃoo XY f(x,y) dx dy

ʃoo X g(x) dx
E(Y) = -ooʃoo Y h(y) dy

E(X) =

2.

-oo

Si X,Y son variables aleatorias independientes
xy = Cov(X,Y) = 0
Var(X + Y ) = Var (x) + Var (Y) + 2 Cov (X,Y)
Ó

2x+y = 2x + 2y + 2xy

COEFICIENTE DECORRELACIÓN
Si X,Y son dependientes completamente, por ejemplo X = Y, entonces
Cov(X,Y) = xy = x y. De esto llegamos a una medida de dependencia de las
variables X,Y dada por

 = xy = Cov (X,Y)
x y Var (x)* Var (y)
Var (X) = E(X2) - [E(X)] 2
Var (Y) = E(Y2) - [E(Y)] 2
El coeficiente de correlación  es una cantidad adimensional.
Siempre que
-1    1
En el caso donde  = 0 decimos que las...