RECTA

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Matem´ tica B´ sica
a
a

1. Sean las rectas

L1 : − 4 + 3 y = 0 √
5
5
L2 : − 4 x + 3 y − 2 3 = 0
5
5

YM

Si A y B son los puntos figura mostrada. Hallar d[A, B ].

L2

y

A

L1

45◦

45◦

25
25

x

Soluci´ n:
o

√
√
= 2 3 = k. Ahora del gr´ fico se observa que d[A, B ] = k 2, por
a

FA
CF

Ya que L1 //L2 , entonces d(L1 , L2 ) =
√√
√
tantod[A, B ] = 2 3 2 = 2 6.

√
| − 2 3|

B

2. Los puntos P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) de recta L1 : 5x − 12y + 15 = 0 distan 3 u de L0 : (3, 4)[(x, y ) − (0, 3)] = 0. Hallar
el valor de x1 + x2 .
Soluci´ n:
o
Ya que P1 ∈ L1 : 5x − 12y + 15 = 0, entonces 5x1 − 12y1 + 15 = 0 · · · (I).
Tambi´ n P2 ∈ L1 : 5x − 12y + 15 = 0, entonces 5x2 − 12y2 + 15 = 0 · · · (II).
e
Ahora como d[P1 , P2 ;L0 ] = 3; L0 : 3x + 4y − 12 = 0. Luego
3x1 +4y1 −12
√
25

3x1 +4y1 −12
√
25

=3
3x1 + 4y1 = 27 · · · (III)

=3
3x2 + 4y2 = −3 · · · (IV)

De las ecuaciones (I) y (III) tenemos:

5x1 − 12y1 = −15
3x1 + 4y1 = 27 multiplicamos por (3).

⇒

5x1 − 12y1 = −15
9x1 + 12y1 = 81

Sumando ambas ecuaciones de este ultimo sistema, tenemos que 5x1 + 9x1 = 66, luego x1 =
´

33
.
7An´ logamente de las ecuaciones (II) y (IV) tenemos:
a

5x2 − 12y2 = −15
3x2 + 4y2 = −3 multiplicamos por (3).

⇒

5x2 − 12y2 = −15
9x2 + 12y2 = −9

Nuevamente sumando ambas ecuaciones de este ultimo sistema, tenemos 5x2 + 9x2 = −24, luego x2 = −
´
Finalmente x1 + x2 =
FACFYM-UNPRG

12
.
7

33 12
−
= 3.
7
7

1

Escuela de Electr´ nica
o

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Matem´ tica B´sica
a
a

YM

3. Hallar el punto Q que divide al segmento AB con A = (1, 2), B = (9, 7) en:
a) 2 : (−3) b) 3 : 2 c) (−12) : (−6)
Soluci´ n:
o

a) 2:(−3)
El punto Q esta determinado por

Q=
donde m = 2, n = −3. Entonces

n
m
A+
B
n+m
n+m

−3
2
(1, 2) +
(9, 7)
−1
−1
Q = (−15, −8).
Q=

b) 3:2
Entonces m = 3, n = 2. As´
ı

Q=

FA
CF

Q=

2
3
(1, 2) +
(9,7)
5
5
29
,5 .
5

c) (−12):(−6)
Entonces m = −12, n = −6. As´
ı

Q=

Q=

−6
−12
(1, 2) +
(9, 7)
−18
−18
19 16
,
.
33

4. Determine m y n para que las rectas L1 : (2, 0) + t(m, 1) y L2 :

1
m, 0

+ s(−2, n) sean coincidentes.

Soluci´ n:
o

Ya que deseamos que L1 = L2 , entonces P2 ∈ L1 y a1 //a2 , donde P2 =

Si P2 ∈ L1 , entonces

1
m, 0

, a1 = (m, 1),a2 = (−2, n).

(P2 − P1 )(−1, n) = 0, donde P1 = (2, 0)
1 − 2m
, 0 (−1, m) = 0
2m
m = 1/2.

Ahora tambi´ n a1 //a2 , entonces
e

a1 .a⊥ = 0
2

(m, 1)(−n, −2) = 0
mn + 2 = 0

⇒ n = −4.
FACFYM-UNPRG

2

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o

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Matem´ tica B´ sica
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YM

5. Demostrar que la distancia entre dos rectas paralelas L1 : ax + by + c = 0 y L2 : ax + by + c′ =0, est´ dada por las
a
siguiente f´ rmula:
o
|c − c′ |
d(L1 , L2 ) = √
.
a2 + b2
Soluci´ n:
o

L1

P0 (x0 , y0 )

L2

d(L1 , L2 )

Sea P0 = (x0 , y0 ) ∈ L1 , entonces ax0 + by0 + c = 0. Como calcular la distancia de dos rectas paralelas, es equivalente
a calcular a las distancia de alg´ n punto de la recta L1 hacia la recta L2 , es decir
u
|ax0 + by0 + c′ |
√
a2 + b2

FACF
d(L1 , L2 ) = d(P0 , L2 ) =

d(L1 , L2 ) =

|c − c′ |
√
.
a2 + b2

6. La recta L1 : (1, 3) + t(2, −6) forma con los ejes coordenados un tri´ ngulo de area A1 . Si L2 //L1 y forma con los ejes
a
´
A1
= 4. Encontrar la ecuaci´ n vectorial de L2 .
o
un tri´ ngulo de area A2 tal que
a
´
A2
Soluci´ n:
o

(0, 6)

(0, b)

A2

(a, 0)

L2

(2, 0)
L1

−
Como L1 : (1,3) + t(2, −6), entonces L1 : x−1 = y−63 , as´ L1 : 3x + y − 6 = 0. Por tanto A1 = 6(2) = 6, as´
ı
ı
2
2
A1
6
3
x
x
A2 = 4 = 4 = 2 . Sea la ecuaci´ n de recta de L2 : a + b = 1 o equivalentemente L2 : ax + b + y = ab. Puesto que
o
b
L1 //L2 , entonces mL1 = mL2 , luego −3 = − a y as´ b = 3a.
ı

FACFYM-UNPRG

3

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o

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