Rectas y planos

MOISES VILLENA MUÑOZ

Rectas en el plano

2
2 2.1 Ecuaciones de la recta en R 2.2 Posiciones relativas.

Objetivos.

Se persigue que el estudiante: • Encuentre ecuaciones de rectas • Determine si dos rectas son coincidentes, paralelas o si son intersecantes • Encuentre punto de intersección entre rectas. • Encuentre ángulo de intersección entre rectas.

37

MOISES VILLENA MUÑOZRectas en el plano

2.1. ECUACIONES DE LA RECTA EN R 2
Trataremos ahora de definir ecuaciones de la recta, partiendo de un análisis vectorial.

2.1.1 Ecuación de una recta definida por dos puntos
Es obvio que dos puntos definen una recta, observe la figura

Llamemos a S = P P2 = ( x2 − x1 , y 2 − y1 ) vector directriz de la recta l . 1 Sea el vector v = P P = ( x − x1 , y − y1 ) , definidoentre el punto P ( x1 , y1 ) y 1 1 un punto P( x, y ) cualquiera de la recta. Observe que S y v son paralelos, entonces v = k S para k ∈ R . Por consiguiente:
1 1 2
→ → → →

→

⎯ ⎯→

→

⎯ ⎯→

(x − x , y − y ) = k (x − x , y − y ) (x − x , y − y ) = (k (x − x ), k ( y − y ))
1 2 1 1 1 2 1 2 1

Por igualdad de vectores:

⎧ x − x1 = k ( x2 − x1 ) ⎨ ⎩ y − y1 = k ( y 2 − y 1 )Finalmente:

x − x1 y − y1 = x2 − x1 y 2 − y1

Ecuación de una recta definida por dos puntos P (x1, y1 ) y P2 (x 2 , y 2 ) 1

38

MOISES VILLENA MUÑOZ

Rectas en el plano

2.1. 2. Ecuación de una recta definida por un punto y su pendiente
Tomando la ecuación anterior en la forma

y − y1 =

y2 − y1 ( x − x1 ) x2 − x1

La medida de la inclinación de la recta se la llama "Pendiente", sela denota como m y se la define como

m=

y2 − y1 . Entonces, tenemos: x2 − x1

y − y1 = m( x − x1 )

Ecuación de una recta definida por un punto P1 (x1 , y1 ) y su pendiente m

2.1.3. Ecuación de una recta definida por un punto y un vector paralelo.
Considerando el vector directriz S = ( x2 − x1 , y 2 − y1 ) = s x , s y vector paralelo a la recta, tenemos:
→

(

)

como un

x− x1 y − y1 = sx sy

Ecuación de una recta definida por un punto

P1 (x1 , y1 ) y un vector paralelo S = s x , s y .

→

(

)

2.1.4. Ecuaciones Paramétricas de una recta
⎧ x − x1 ⎪ s =t ⎪ x . ⎨ y − y1 ⎪ =t ⎪ sy ⎩

Considerando

x − x1 y − y1 = = t tenemos sx sy

Por tanto otra forma de la ecuación de una recta, sería:

⎧ x = x1 + s x t ;t ∈ R ⎨ y = y1 + s y t ⎩

EcuacionesParamétricas.

39

MOISES VILLENA MUÑOZ

Rectas en el plano

2.1.5. Ecuación Vectorial de una recta.
De
→

lo

anterior

tenemos

l : ( x, y ) = ( x1 , y1 ) + (s x , s y )t
→ →

considerando

V = ( x, y ) el vector posición de un punto de la recta, V1 = ( x1 , y1 ) el vector
posición de un punto de la recta y S = s x , s y tenemos:

(

) un vector paralelo a la recta;V = V1 + S t

→

→

→

Ecuación Vectorial de una recta.

2.1.6. Ecuación de la recta definida por un punto y un vector normal
Ahora suponga que se tiene un vector n = (a, b ) perpendicular a la recta
→

El vector n = (a, b ) y el vector V = P0 P = ( x − x0 , y − y0 ) son ortogonales, 1 por tanto n• V = 0 .
→ →

→

→

⎯ ⎯→

Reemplazando tenemos (a, b ) • ( x − x0 , y − y 0 )= 0

Y resolviendo resulta:

a ( x − x0 ) + b( y − y 0 ) = 0

Ecuación de la recta definida por un punto P0 (x 0 , y 0 ) y un vector normal
→

n = (a, b )

40

MOISES VILLENA MUÑOZ

Rectas en el plano

2.1.7. Ecuación general de una recta
En la última ecuación resolviendo, resulta:

ax − ax0 + by − by0 = 0
Haciendo c = −ax0 − by 0 resulta:

ax + by + (− ax0 − by0 ) = 0
ax+ by + c = 0

Ecuación general de una recta

Ejemplo 1
Hallar la ecuación general de la recta que contiene a los puntos (−2,3) y (1,−2 ) SOLUCIÓN:
Utilizando

x − x1 y − y1 y los puntos dados P1 (−2,3) y P2 (1,−2 ) (No importa el orden) = x 2 − x1 y 2 − y1
y −3 x − (−2) = 1 − (− 2) − 2 − 3 x +2 y −3 = 3 −5 − 5 x − 10 = 3 y − 9 5x + 3 y + 1 = 0

Reemplazando tenemos:

Resolviendo...