Rectes en el pla

LA

MATEMÀTIQUES 1

→


→


→


→


→


→


69

j Unitat 6. Rectes en el pla

  4. Calcula a·a sabent →que a·b 5 3, b·b 5 4 i que l’angle que

→

formen els vectors a i b mesura 60º.
��� ���
��� 2 ���
→ →

→

→

AB 5 4
AB A DC − b −5 2 C − ()6,5 ()6,5 4,1x ,= ( ,5 − = (
=
5,3 − −
1,2 y ⇔ − ()()6 −
() ⇔ = ()x , = () y ⇔
b·b =DC ⇔ B − = = C ⇔DB⇔ A 5,3 − D1,2 () ()()6 − x4,1 y ) x ,5 − y )
b 5 4

Activitats

��� ���
��� ���
→
→

→

→

AB 5 3
DAB 5 3 − B −· ==()x 5 3⇔ ()6,5 ,5lesydiferents equacions − la recta
DC
1,2
− ()()Escriu x
y
1,2 ()
⇔
a·b = DC ⇔ B −· = C·−cos⇔= 5,3 ⇔()C cos −⇔ ,()  1. 6 − x− ()()6 − x ,5de y ) que passa pel punt
a Ab
a ()a A2 ·6,5 D60º 5,3 − 4,1 = ( −, y) 4,1 = (→
P(4, 1) i té com a vector director el vector v  (2, 5).
→
3 3

Indica’n el pendent i l’abscissa i l’ordenada a l’origen.
a 5 —————  ——— 5 3

2 cos 60º
1
Vectorial: (x, y)  (4, 1)  k (2, 5)
2·—
2
→ →


→ 2


x  4  2k
a·a 5 a 5 32 5 9
Paramètriques:

y  1  5k
→


5

  5. Els punts A(1, 2), B(5, 3) i C(6, 5) són tres vèrtexsconsecutius d’un paral lelogram. Troba les coordenades del quart
·
vèrtex D i les del punt d’intersecció de les diagonals.






x  4 y  1
Contínua:  ———  ———

2 5

Els vectors AB i DC són equipol·lents.



General: 5x  2y  22  0

Anomenem D(x, y)






5
Explícita:  y  —x  11

2





5 22
m  —
p  ——
2 5

→


→Llavors

��� →
���
��� ���
B 2 A AB 2 D ()= C = ()x ,− ()6,5 (x y ⇔ 4,1
AB 5 DC ⇔ B − A =5 C = DC ⇔ (5, −A 1,2 − D 6,5 ()⇔ = ()x , ,5 − y ) = (x ,5 − y )
AB =
C − D ⇔ 5,3 −3) 2 (1, 2) 5 − ()()6 ()()6 −
B () ⇔ 5,3 y 1,2 4,1 =
−−
x
y
��� ���
Canònica:  ——  ——  1
(4, 1) C − 2 x, 5 2 y) ()6,5 − ()()6 −22 − y )
5 (6, 5) 2 (x, DC ⇔ B − A =5 (6D ⇔()
AB = y)
5,3 − 1,2 = ()x , y ⇔ = (x ,5 11
4,1
—


5
Tenim el sistema:
→


4 = 6 − x

1 = 5 − y

La solució és: x 5 2 i y 5 4.

n  11

El punt buscat és D(2, 4).
El punt d’intersecció de les diagonals és el punt mig M dels
segments AC o BD:
M=

A + C (1, 2) + (6, 5) (7, 7  7 7 
=
=
= , 
2 2
2
2
2

  6  vèrtexs d’un triangleestan situats en els punts A(1, 2),
Els
B(3, 4) i C(7, 4).
a) Demostra que el triangle és rectangle en el vèrtex A.
AB = (2, 6) , AC = (6, −2)
ˆ
AB
⋅ AC = 12 − 12 = 0 → AB ⊥ AC → A = 90º
b)  omprova que els costats del triangle verifiquen el teoreC
ma de Pitàgores.
AB = AB = 40 = 2 10 u


AC = AC = 40 = 2 10 u

BC = ( 4, − 8) → BC = BC = 80 = 4 5 u


 2. Considera larecta d’equació vectorial:
(x, y)  (3, 2)  k  (2, 1)


Determina quin és el valor de b per tal que el vector
→
v  (3, b) sigui un vector director de la recta.





v  (3, b)

→
u  (2, 1)











→

6

→

→

v  k u  →
3
b 3
→  ——  ——  →  b  —
2
1 2



x y
  3. Per a la recta d’equació ——  —  1, escriu les equacions4 2
general i explícita. Indica’n un vector director.








x y
——  —  1  →  x  2y  4  →
4 2
→  x  2y  4  0

Es verifica: BC = AB + AC → 80 = 40 + 40 → triangle rectangle isòsceles




c) Calcula l’àrea del triangle.
AB ⋅ AC 40
40
  20 u2   20 u2
Àrea
2
2
2









2

2

2

x  4 1
2y  x  4  →  y  ———  →  y —x  2


2 2
1
→
m  —  →  v  (2, 1)
2

70

LA

SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE

 4. El punt A(3, 1) és de la recta que passa pel punt P(2, 2) i
→
té com a vector director v  (1, 3)? Justifica la resposta.




P(2, 2)
y 2

x  2  ———  →
→
v  (1, 3)

3

6

→ 3x  y  4  0


A  (3, 1)  → 33  1  4  9  1  4  12  0. No és de...