Regla de la cadena

 REGLA DE LA CADENA
 
Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,
 
                                            
 
y z = g(y) es otrafunción derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,
 
                                          
 
entonces la función compuesta 
                                    
 
definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene
 
                                    
 
 
Ejemplo:cálculo de derivadas

 Calcular la derivada de la función h(x) = sen x2. 
Resolución:
 
 La función sen x2 es una función compuesta de otras dos f(x) = x2  y g(x) = sen x.
 
                                      
 

 
 Al ser g(x) = sen x,g'(x) = cos x, por tanto g'[f(x)] = cos f(x) = cos x2
 
             
 
 Por la regla de la cadena,
 
h'(x) = g'[f(x)] · f'(x) = 2x cos x2
 

 
Resolución:
 

                                    
                                 
                        
 
 
 De g(x) = x3, se deduce g'(x) = 3x2. En consecuencia,

 
 Por la regla de la cadena,
                                
 
Regla de la cadena para la función potencial
 
Se sabe que la derivada de una función f(x) = xm es f'(x) = m · xm - 1.
Si en lugar de x se tuviese una función u(x), laderivada de u(x)m
 
                                  
 
aplicando la regla de la cadena, será:
 
                                 [u(x)m]' = m · u(x)m - 1 · u'(x)
 
Parasimplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u en lugar de u(x).
 
Así,
                          
 
 
 
Ejercicio: cálculo de derivadas...