Regla De Los Signos De Descartes
Páginas: 36 (8757 palabras)
Publicado: 28 de octubre de 2012
LA PREDICCIÓN Y LA REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES1
PRIMERA PARTE: ARGUMENTOS Y DEMOSTRACIONES
Ricardo Cantoral* y Marcela Ferrari** DME – Cinvestav, IPN. ** Cimate – UAG (México) rcantor@cinvestav.mx , marcela_fe@yahoo.com.mx
RESUMEN
René Descartes publicó en 1637 su famosa Géométrie, un tratado donde aplica el álgebra a la geometría e introduce el simbolismo algebraico actual. En eltercer libro de la Géométrie enuncia, sin demostración, su célebre regla de los signos de Descartes. Durante dos siglos, el mundo matemático intentó sin éxito una demostración general y satisfactoria a los estándares de la época; finalmente Carl Frederick Gauss la demuestra, de la manera más general, en 1828 recurriendo a métodos algebraicos. Antes de ese acontecimiento, la regla de los signos vivióun intenso debate sobre la autenticidad y la originalidad que solía atribuírsele a Descartes. En la primera parte de este artículo presentaremos algunos de los intentos que se hicieron por demostrarla, así como el tratamiento que la regla de los signos tiene en los libros de texto de álgebra y propondremos, en la segunda parte, una justificación original alternativa apoyada en la idea de predicciónque, hasta donde sabemos, no ha sido reportada en la literatura especializada.
LA REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES. PRESENTACIÓN
René Descartes desarrolla, a principio del siglo XVII, un acercamiento del álgebra a la geometría, publicando en 1637 su Géométrie donde introduce el simbolismo algebraico actual que permitió, a la postre, la emergencia del álgebra clásica y de la geometríaanalítica. Particularmente, en el tercer libro de este tratado enuncia, sin demostración, su célebre regla de los signos y que hoy lleva su nombre: ...On connaist aussy, de cecy, combien il peut y avoir de vrayes racines, & combien de fausses, en chasque Equation. A sçavoir: il y en peut avoir autant de vrayes que les signes + & − s'y trouvent de fois estre changés, & autant de fausses qu'il s'y trouve defois deux signes + o deux signes −, qui s'entresuivent...2 (Descartes, 1637 p. 373).
1
La primera versión de este artículo fue publicada en: Cantoral, R. & Ferrari, M. (2004). Uno studio socioepistemologico sulla predizione. La matematica e la sua didattica 2 (pp. 33–70). Bologna, Italia: Pitagora Editrice. ...podemos determinar el número de raíces verdaderas o falsas que cualquier ecuaciónpueda tener, como sigue: una + a – o de – a +; y tantas raíces falsas como el número de veces que se encuentran en sucesión dos signos + o dos -.
2
3
Sin una demostración de esta regla, Descartes explica su método aplicándolo a la ecuación particular x4 − 4x3 − 19x2 + 106x − 120 = 0 que construye multiplicando las ecuaciones x−2 = 0, x−3 = 0, x−4 = 0, x+5 = 0; a fin de obtener unaecuación de cuarto grado con tres raíces positivas. En su explicación Descartes dice: ...Comme en la dernière, à cause qu'après + x 4 il y a − 4 x 3 , qui est un changement du signe + en −; & après − 1 9 x x il y a + 1 0 6 x , & après + 1 0 6 x il y a − 1 2 0 , qui sont encore deux autres changemens, on connaist qu'il y a trois vrayes racines; & une fausse, à cause que les deux signes −, de 4 x 3 & 1 9 xx , s'entresuivent...3 (Descartes, 1637 p. 373). La regla limita entonces el número de raíces positivas de una ecuación polinomial al declarar que no exceden el número de cambios de signo en los coeficientes del polinomio; cambios de signo naturalmente considerados cuando el polinomio ha sido escrito de forma tal que sus potencias desciendan o equivalentemente asciendan. Una demostraciónsatisfactoria y general de la regla de los signos de Descartes fue publicada por Gauss en 1828. Durante el periodo que va de 1637 a 1828 se produjo una gran cantidad de intentos de demostración sin que ninguno de ellos alcanzara su objetivo. Algunos sin embargo, sirvieron para analizar casos particulares y para explicar la regla en la enseñanza de la época. Una interesante reflexión al respecto puede...
PRIMERA PARTE: ARGUMENTOS Y DEMOSTRACIONES
Ricardo Cantoral* y Marcela Ferrari** DME – Cinvestav, IPN. ** Cimate – UAG (México) rcantor@cinvestav.mx , marcela_fe@yahoo.com.mx
RESUMEN
René Descartes publicó en 1637 su famosa Géométrie, un tratado donde aplica el álgebra a la geometría e introduce el simbolismo algebraico actual. En eltercer libro de la Géométrie enuncia, sin demostración, su célebre regla de los signos de Descartes. Durante dos siglos, el mundo matemático intentó sin éxito una demostración general y satisfactoria a los estándares de la época; finalmente Carl Frederick Gauss la demuestra, de la manera más general, en 1828 recurriendo a métodos algebraicos. Antes de ese acontecimiento, la regla de los signos vivióun intenso debate sobre la autenticidad y la originalidad que solía atribuírsele a Descartes. En la primera parte de este artículo presentaremos algunos de los intentos que se hicieron por demostrarla, así como el tratamiento que la regla de los signos tiene en los libros de texto de álgebra y propondremos, en la segunda parte, una justificación original alternativa apoyada en la idea de predicciónque, hasta donde sabemos, no ha sido reportada en la literatura especializada.
LA REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES. PRESENTACIÓN
René Descartes desarrolla, a principio del siglo XVII, un acercamiento del álgebra a la geometría, publicando en 1637 su Géométrie donde introduce el simbolismo algebraico actual que permitió, a la postre, la emergencia del álgebra clásica y de la geometríaanalítica. Particularmente, en el tercer libro de este tratado enuncia, sin demostración, su célebre regla de los signos y que hoy lleva su nombre: ...On connaist aussy, de cecy, combien il peut y avoir de vrayes racines, & combien de fausses, en chasque Equation. A sçavoir: il y en peut avoir autant de vrayes que les signes + & − s'y trouvent de fois estre changés, & autant de fausses qu'il s'y trouve defois deux signes + o deux signes −, qui s'entresuivent...2 (Descartes, 1637 p. 373).
1
La primera versión de este artículo fue publicada en: Cantoral, R. & Ferrari, M. (2004). Uno studio socioepistemologico sulla predizione. La matematica e la sua didattica 2 (pp. 33–70). Bologna, Italia: Pitagora Editrice. ...podemos determinar el número de raíces verdaderas o falsas que cualquier ecuaciónpueda tener, como sigue: una + a – o de – a +; y tantas raíces falsas como el número de veces que se encuentran en sucesión dos signos + o dos -.
2
3
Sin una demostración de esta regla, Descartes explica su método aplicándolo a la ecuación particular x4 − 4x3 − 19x2 + 106x − 120 = 0 que construye multiplicando las ecuaciones x−2 = 0, x−3 = 0, x−4 = 0, x+5 = 0; a fin de obtener unaecuación de cuarto grado con tres raíces positivas. En su explicación Descartes dice: ...Comme en la dernière, à cause qu'après + x 4 il y a − 4 x 3 , qui est un changement du signe + en −; & après − 1 9 x x il y a + 1 0 6 x , & après + 1 0 6 x il y a − 1 2 0 , qui sont encore deux autres changemens, on connaist qu'il y a trois vrayes racines; & une fausse, à cause que les deux signes −, de 4 x 3 & 1 9 xx , s'entresuivent...3 (Descartes, 1637 p. 373). La regla limita entonces el número de raíces positivas de una ecuación polinomial al declarar que no exceden el número de cambios de signo en los coeficientes del polinomio; cambios de signo naturalmente considerados cuando el polinomio ha sido escrito de forma tal que sus potencias desciendan o equivalentemente asciendan. Una demostraciónsatisfactoria y general de la regla de los signos de Descartes fue publicada por Gauss en 1828. Durante el periodo que va de 1637 a 1828 se produjo una gran cantidad de intentos de demostración sin que ninguno de ellos alcanzara su objetivo. Algunos sin embargo, sirvieron para analizar casos particulares y para explicar la regla en la enseñanza de la época. Una interesante reflexión al respecto puede...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.