Regrecion multiple

ecion multiple
Regresión lineal múltiple

Los Modelos de Regresión estudian la relación estocástica cuantitativa entre una variable de interés y un conjunto de variables explicativas. Sea Y  la variable de interés, variable respuesta o dependiente y sean x1,x2,...,xk las variables explicativas o regresoras. La formulación matemática de estos modelos es la siguiente

[pic]

donde [pic]es elerror de observación debido a variables no controladas.
En el modelo de Regresión Lineal General se “supone” que la función de regresión m[pic] es lineal. Por tanto, la expresión matemática del modelo de regresión lineal general es
|[pic] |
|(8.1)|
| |

Un primer objetivo en el estudio de este modelo es el de estimar los parámetros del mismo [pic]0,[pic]1,[pic]2,...,[pic]k, y la función de distribucióndel error F[pic] a partir de una muestra de n observaciones, que tendrá la forma

[pic]

De la expresión matemática del modelo de regresión lineal general se deduce que para i = 1,2,...,n se verifica la siguiente igualdad

[pic]

donde [pic]i es el error aleatorio o perturbación de la observación i-ésima.
Es intererante escribir el modelo de regresión lineal general en formamatricial.

|[pic] |
|(8.2) |
||

donde [pic]es un vector n-dimensional (matriz n × 1) de la variable respuesta o dependiente,
X es la matriz del diseño de las variables regresoras (matriz n ×[pic] ), la primera columna de esta matriz está formada por unos, es la columna asociada con el parámetro [pic]0; la columna j + 1 contiene la información relativa a la variable xj, j = 1,...,k, es la columna asociada alparámetro [pic]j.
[pic]es el vector [pic]-dimensional (matriz [pic]× 1) de los parámetros del modelo,
[pic]es el vector n-dimensional (matriz n × 1) de las perturbaciones aleatorias.  
Desarrollando la ecuación matricial anterior se tiene,

[pic]

La fila i-ésima de la matriz X, [pic]i. = [pic]se corresponde con los datos de las variables regresoras en el individuo i-ésimo, i = 1,2,...,n.Por tanto, la información acerca del individuo i-ésimo está contenida en el vector [pic]i.
La columna j-ésima de la matriz X, [pic].j = [pic]t se corresponde con los datos de la variable regresora xj, j = 1,2,...,k. La información acerca de la variable j -ésima está contenida en el vector [pic].j.
En resumen, las matrices del modelo de regresión lineal múltiple son:

[pic]

 En el estudio del modelo de regresión lineal general se asume que se verifican las siguientes hipótesis:
1. La función de regresión es lineal,
|m([pic]i.) |= m[pic] = E[pic] = E[pic] |
| |= [pic]0 + [pic]1xi1 + [pic]2xi2 + ... + [pic]kxik, i = 1,...,n,|

2. o, equivalentemente, E[pic] = 0, i = 1,...,n.
3. La varianza es constante (homocedasticidad),

[pic]

o, equivalentemente, V ar[pic] = [pic]2, i = 1,...,n.
4. La distribución es normal, o, equivalentemente, [pic]i ~ N[pic], i = 1,...,n.
5. Las observaciones Y i son independientes (bajo normalidad, esto equivale a que la Cov(Y i,Y j) = 0, si...