Regresi nLinealyRegresi nPolinomial

Regresión Lineal y
Regresión
Polinomial

Regresión Lineal


El ejemplo más simple de aproximación por mínimos
cuadrados es ajustar una línea recta a un conjunto de
observaciones definidas por puntos:



La expresión matemática
y a  a para
x  e la línea recta es:
o




1

ao y a1 son coeficientes que representan la intersección con el

eje “y” y la pendiente, respectivamente.
e= es elerror, o diferencia, entre el modelo y las observaciones, el
cual se representa al reordenar la ecuación(17.1) como

e y - a o - a 1 x

Datos con un error significativo

Ajuste polinomial oscilando mas allá del rango de
los datos

Resultados más satisfactorios mediante el ajuste por
mínimos cuadrados

El error o residuo “e” es la discrepancia entre el valor verdadero de “y” y el valor
aproximado“a0 + a1x”, el cual predijo la ecuación lineal












Si se minimiza la suma de los errores residuales de todos los datos disponibles se
tiene una mejor línea de ajuste, es decir,
∑ ei = ∑ (yi – a0 – a1xi); las sumas van de i=1 hasta n=número de puntos
Una mejor aproximación es minimizar la suma de los valores absolutos
∑ |ei| = ∑ | yi – a0 – a1xi |; para i=1 a n
Los dos criteriosanteriores, sin embargo, no son adecuados pues no dan un “único”
mejor ajuste.
Un mejor criterio es el “minimax”, en donde la línea de ajuste se elige para que se
minimice la máxima distancia a la que se encuentra un punto de la línea. Esta
técnica tiene el inconveniente de que da excesiva influencia a puntos fuera del
conjunto (un solo punto con un gran error). Minimax es una técnica adecuada paraajustar una función simple a una complicada. Consiste en minimizar la suma de los
cuadrados de los residuos entre la “y” medida y la calculada con el modelo lineal
Sr = ∑ ei2 = ∑ (yi,medida-yi,modelo)2 = ∑ (yi – a0 – a1xi)2 , para i=1 a n

Ajuste de una línea recta por mínimos cuadrados


Para determinar los valores de ao y a1
coeficientes: S
r

ao

, se deriva con respecto a cada uno de los

 2( yi  a0  a1 xi )

S r
 2  ( yi  a0  a1 xi ) xi 
a1





0  y i 
0  y i x i

a  a x
 a x  a x
0

1

0

i

i

1

Al igualar las derivadas a cero dará como resultado un Sr mínimo
Ahora a0 nao y expresamos las ecuaciones como un conjunto de dos
ecuaciones lineales simultáneas ( con 2 incógnitas):
Ecuaciones normales →
 yi nao   xi a1





a1 =( n∑xiyi -∑xi∑yi) / (n∑x– (∑xi) )



a0 = prom(y) – a1prom(x); prom = promedio

2
i

2



 y x  x a   x a
i

i

i

0

2
i

1

2
i



Ejemplo:
Ajuste a una línea recta los valores “x” y “y” en las primeras columnas de la tabla



Tabla. Cálculos para el análisis de error en el ajuste lineal.



Cuantificación del error en la regresión lineal


Suma de Cuadrados:



Esto se puede interpretar por mediodel principio de la máxima probabilidad y se
determina como sigue:



St es la magnitud del error residual asociado con la variable dependiente antes de la
regresión.
Sr : Suma de los cuadrados.
Suma Inexplicable de los cuadrados: St- Sr
Con esto obtenemos:





Planteamiento del problema. Calcule la desviación estándar total, el error estándar del estimado el coeficiente de
correlación paralos datos del ejemplo anterior.
Solución. Las sumatorias se realizan y se presentan en la tabla

Y el error estándar del estimado es

Como

, el modelo de regresion lineal es adecuado. La mejora se puede cuantificar mediante

ó

Los resultados indican que el modelo lineal explico el 86.8% de la incertidumbre original.

Linealización de Relaciones No Lineales


En la regresión lineal no siempre seda el caso de que la relación entre las variables
dependientes e independientes es lineal. Este es un dato que se debe averiguar siempre antes
de realizar cualquier análisis de regresión. Por ejemplo, si los datos son curvilíneos, no se debe
utilizar el método de regresión lineal por mínimos cuadrados .



Existen ocasiones en que los datos no son compatibles con la regresión lineal, por lo...