Regresion Lineal Simple

Calidad del ajuste en regresión lineal simple

El ajuste de un modelo de regresión requiere de varias suposiciones. La estimación de los parámetros del modelo requiere la suposición de que los errores son variables aleatorias no correlacionadas con media 0 y varianza constante. Las pruebas de hipótesis y la estimación del intervalo requieren que los errores se distribuyan normalmente. Además sedebe suponer que el orden del modelo es correcto, esto es, si ajustamos un polinomio de primer orden, entonces estamos suponiendo que el fenómeno se comporta en realidad en un modo de primer orden. Asi que un analista siempre debe considerar dudosa la validez de estas suposiciones y conducir los análisis para examinar la adecuación del modelo que se ha considerado en forma tentativa. En estasección analizamos métodos útiles a este respecto a.
0 Análisis residual.

Un residual es la diferencia entre el valor observado y el valor estimado por la línea de regresión, El residual puede ser considerado como el error aleatorio observado.

Una nube de puntos que se agrupa en torno a una recta imaginaria nos justifica el estudio de la regresión lineal entre las variables.Normalmente, la variable explicativa no explica al 100% los resultados que se observan en la variable explicada.

El único caso en el que una variable explica al 100% a la otra variable es aquel donde los puntos de la nube formen una recta. En ese caso, cada valor de X nos da el valor exacto de Y. Pero ese no es el caso general. Vamos a cuantificar la calidad de la explicación de Y por X mediante elCOEFICIENTE DE DETERMINACIÓN.
Los datos de ambas variables tienen una varianza. No nos vamos a interesar por la varianza de la X (independiente), pero sí por la de Y, por estar influenciada por la otra variable. La varianza de Y está generada, de una parte, por los datos de X (es decir, por la varianza), y de otra parte por causas desconocidas (a no ser que los datos formen una línea recta).El coeficiente de determinación va a ser el % de varianza de Y que se puede explicar por X, y se le suele llamar CALIDAD DEL AJUSTE, porque valora lo cerca que está la nube de puntos de la recta de regresión (o dicho de otro modo, lo ajustada que está la nube de puntos a la recta de regresión).
Como yi = y*i + ei, desarrollando la expresión de la varianza de Y se puede llegar a que:

Y portanto, el % de varianza de Y explicada por X es:

Que resulta ser , es decir, el coeficiente de correlación lineal r definido en el capítulo anterior, elevado al cuadrado y multiplicado por 100. Es por ello que al coeficiente de determinación se le llama R2, es decir

Un ejemplo: si R2 = 86% para unas variables X e Y, podemos decir que la calidad del ajuste es bastante alta, aunque no sabemos sila recta de regresión es creciente o decreciente. Otro ejemplo: si conocemos el coeficiente de correlación lineal, r = - 0.77, entre dos variables X e Y, ya sabemos que la recta de regresión es decreciente (por el signo negativo de r), y calculando R2 = r2 · 100 = 59.29% tenemos una calidad de ajuste media (no es muy pobre, pero tampoco se puede calificar de buena).

Estimación y predicción porintervalo en regresión lineal simple
En estadística, la probabilidad que asociamos con una estimación de intervalo se conoce como el nivel de confianza. Esta probabilidad nos indica que tanta confianza tenemos en que la estimación del intervalo incluya al parámetro de la población. Una probabilidad más alta significa más confianza.
El intervalo de confianza es el alcance de la estimación queestamos haciendo pero a menudo hacemos el intervalo de confianza en términos de errores estándar, para esto debemos calcular el error estándar de la media así:
Es el error estándar de la media para una población
Infinita, es la desviación estándar de la población.
Con frecuencia expresaremos los intervalos de confianza de esta forma: en la que:...