Relaciones y Funciones

INSTUTUTO TECNOLOGICO DE CD.VALLES

MATEMATICAS DISCRETAS

UNIDAD III
RELACIONES Y FUNCIONES

SANDRA KARINA RIVERA LUCIANO

INGENIERO EN TECNOLOGIAS DE LA INFORMACION Y COMUNICACIÓN
1 SEMESTRE GRUPO A

NUMERO DE CONTROL: 11690242

24 DE OCTUBRE DEL 2011

INDICE
Pagina

3 RELACIONES Y FUNCIONES3
3.1. PROPIEDADES DE LAS RELACIONES 5
3.2 CERRADURA 6
3.3 RELACIONES DE EQUIVALENCIA 7
3.4 ORDENES PARCIALES8
3.5 DIAGRAMAS DE HASSE 9
3.6 TIPOS DE FUNCIONES 10
Conclusión 15
Bibliografía16

3 Relaciones y Funciones

Se llama relación entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B. Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios o todos los que forman parte de A x B. Si establecemos una relación entre los elementos de un mismo conjunto, existen tres propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relación:propiedad reflexiva, simétrica y transitiva.
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Se llama función a una relación en la cual a cada elemento del conjunto de partida le corresponde sólo un elemento del conjunto de llegada.

Un conjunto está determinado por sus elementos; esto es, fa; bg =
fb; ag y que el orden en el cual los elementos aparecen no hace diferencia.
En ocasiones, deseamos distinguir cuando los mismoselementos están
puestos en orden diferente. Para hacer esto introducimos el concepto de par
ordenado.
Es posible realizar lo anterior en términos de conjuntos (ver lista de ejercicios),
sin embargo esta definición no es muy útil, de manera que consideraremos
un par ordenado como un término indefinido. La notación será
estándar:
(a; b)
donde a es el primer elemento y b es el segundo elemento. Lapropiedad en
la cual estamos realmente interesados es:
Definición 11 Sean (a; b), (c; d) pares ordenados. Entonces (a; b) = (c; d)
si y sólo si a = c y b = d.
Note que la definición anterior distingue orden: (a; b) 6= (b; a) a menos que
a = b.
Con el concepto de par ordenado, se puede definir una nueva operación
entre conjuntos: El producto cartesiano de dos conjuntos:
12
Definición 12Sean A, B conjuntos. El producto cartesiano de A con B,
denotado A £ B; es el conjunto de todos los pares ordenados con primer
elemento en A y segundo elemento en B. En símbolos:
A £ B = f(a; b) : a 2 A y b 2 Bg:
Ejemplo: Si A = f1; 2; 3g, B = fa; bg, C = ; entonces:
A £ B = f(1; a); (1; b); (2; a); (2; b); (3; a); (3; b)g
B £ A = f(a; 1); (a; 2); (a; 3); (b; 1); (b; 2); (b; 3)g
A £ C = ;
B £C = ;:
Se puede graficar A £ B en un arreglo rectangular:
b (1; b) (2; b) (3; b)
B
a (1; a) (2; a) (3; a)
1 2 3
A
Observe en este ejemplo que A£B 6= B£A y que A£C = B£C no implica
que A = B.
Definición 13 Sean A, B conjuntos. Una relación de A a B es un subconjunto
de A £ B. Si R es una relación de A a B entonces un elemento
(a; b) 2 R será denotado como:
aRb:
El dominio de R(denotado Dom(R)) es el conjunto de todos los primeros
elementos de R; en símbolos
Dom(R) = fa : (a; b) 2 Rg = fa : aRbg:
13
La imagen de R (denotado por Im(R)) es el conjunto de todos los segundos
elementos de R; en simbolos
Im(R) = fb : (a; b) 2 Rg = fb : aRbg:
Observe que Dom(R) µ A y Im(R) µ B.
Si A = B se dice que R es una relación en A.
Ejemplo: Sea A = f1; 2; 3g y R la relación “menor...