resolucion Euler MAtlab

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de
Orden Superior
Jean Pierre Garc´ıa
Departamento de Ciencias Exactas, Universidad de las Fuerzas Armadas - ESPE
Sangolqu´ı, Ecuador
jpgarcia8@gmail.com

Abstract.- The paper shows algorithm to solve
ordinaries differential equations of order n else of
Euler method, first you produce the theoretical
fundamental, in the second you have the MATLAB
algorithm, andthe third and last part you will
have final results due to the complete exercise in
MATLAB.
Resumen.- En el documento se muestra el algoritmo para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias
de orden n mediante el m´
etodo de Euler, se presenta
primero el fundamento te´
orico, en la segunda parte
se tiene el algoritmo en MATLAB, y en la tercera y
u
´ ltima parte se tiene ejercicios resueltosmediante el
programa realizado en MATLAB.

´
I. INTRODUCCION
Fig.1 Linea poligonal de aproximaci´on dada por el m´etodo de Euler.

Se muestra a continuaci´
on el fundamento te´
orico del m´etodo de Euler y tambi´en los metodos de resoluci´
on de ecuaciones diferenciales ordinarias, luego integramos los conceptos
para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
mediante el metodo deEuler.

φ(x4) = y4 = y3 + hf(x3,y3) , etc
Este sencillo procedimiento se llama M´etodo de Euler y se
resume mediante las siguientes f´
ormulas recursivas
xn+1 = xn + h
yn+1 = yn + hf(xn,yn), n = 0, 1, 2,...
Algoritmo de Euler

II. DESARROLLO
Fundamento te´
orico

Sea el problema de valor inicial y = f (x, y)y(x0) = y0 supongamos que tiene una soluci´
on u
´nica φ(x) un alg´
un intervalo
con centro enx0.
Sea h ¿0 y consideremos puntos igualmente espaciados
xn = x0 + nh n = 0, 1, 2,...
Los valores de la soluci´
on φ(xn) se pueden aproximar con yn,
donde los valores de yn se obtienen como sigue:
En el punto (x0,y0) la pendiente de la soluci´
on de la ecuaci´
on
anterior es dy/dx = f(x0,y0). Por lo tanto,la recta tangente a la curva soluci´on en el punto (x0,y0) es y=y0+(x-x0)
f(x0,y0)
Como unaaproximaci´
on a φ(x), en el punto x1 = x0 + h
φ(x1) = y1 = y0 + hf(x0,y0) En seguida, empezando en el
punto (x1, y1) con pendiente f(x1,y1), se tiene la recta y =
y1 + (x-x1) f(x1,y1) al pasar de x1 a x2 = x1 + h nos da
la aproximaci´
on φ(x2) = y2 = y1 + hf(x1,y1)al repetir el
procedimiento se obtiene φ(x3) = y3 = y2 + hf(x2,y2)

Este algoritmo calcula la soluci´
on del problema de valor inicial enpuntos equidistantes x1 = x0 + h ,x2 = x0 + 2h, x3 =
x0 + 3h,... ,xN = x0 + Nh, aqu´ı f es tal que es una soluci´
on
u
´nica en [x0,xN ].
1.Entrada: Valores iniciales x0,y0, tama˜
no de paso h y n´
umero de pasos N
2. Para n=0,...,N-1, hacer
xn+1 = xn + h
yn+1 = yn + hf (xn , yn )
Salida
xn+1 , yn+1
3. Parar
Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias de Orden Superior
Una ecuaci´
on diferencialordinaria de orden n es de manera
general una expresi´
on del tipo:
F (x, y, y , y , ..., y n ) = 0
o bien, escrita en forma normal:
y n = f (x, y, y , y , ..., y n−1 )

donde x es la variable independiente, y(x) la dependiente,e
y j = dj y/dxj , para j = 1,... , n, son las derivadas sucesivas
de y(x) con respecto a x.
Una ecuaci´
on de orden n es equivalente a un sistema de
n ecuaciones ordinarias deprimer orden, por medio de la
introducci´
on de variables auxiliares, de la siguiente manera:
Dada la ecuaci´
on anterior, en variable independiente x y
dependiente y(x), definiremos nuevas variables dependientes
como las derivadas sucesivas de y: y2 = y’, y3 = y” = y’2,
..., yn = y (n−1) = y’(n - 1) , adem´
as de identificar y ? y1,
de manera que la ecuaci´
on es equivalente al sistema de necuaciones ordinarias de primer orden:

Programa en MATLAB
A continuaci´
on se muestra el c´
odigo fuente para resolver euaciones diferenciales ordinarias, de orden 1, orden 2 y orden
4 para demostrar la aplicabilidad del algoritmo desarrollado
en la secci´
on anterior, de esta manera podemos realizar programas para resolver ecuaciones del orden que deseemos, es
decir de orden n o llamadas de orden...