Respuestas Gu´A De Ejercicios N◦ 8 Parte Complemento I

´ Universidad Tecnica Federico Santa Mar´a ı
´ Departamento de Matematica

Respuestas Gu´a de ejercicios N◦ 8 parte Complemento ı

Sucesiones
1. a) L = 2 b) Se debe cumplir que 2N + 1 2N + 1 − 2 < 0, 0001 ⇐⇒ 2 − 0, 0001 < < 2 + 0, 0001 N +3 N +3 Despejando N en la primera igualdad, obtenemos que N debe cumplir N> 5 − 3 · 0, 0001 = 49997 0, 0001

c) De manera similar al punto anterior,debemos encontrar N tal que ∀n > N |an −L| < ε para cualquier ε > 0, en otras palabras, N debe cumplir −ε < y despejando N , obtenemos que 2N + 1 −2

2. An´ logo al ejercicio anterior, buscamos N tal que a 3 3N 2 − 1 3 −ε< < +ε 2 2N 2 + 1 2 Despejando N en la primera desigualdad, obtenemos que N2 > ´ ´ De donde consideramos solo la solucion positiva. 3.
n4 +4 2 n−→∞ n +1 √

5/2 − ε 2ε

l´ ım= l´ ım

√ √ 4 4 √n n +4 n−→∞ n4 (n2 +1)

= l´ ım

n−→∞

1 n4 +4 n4 1+ 1 n2

= 1 Buscamos N tal que

√

n4 + 4 −1 < n2 + 1

Despejando N obtenemos (
2

− 2 )N 4 + 2(− + 1)2 N 2 + (
1 350

2

− 2 − 3) < 0 y (

2

+ 2 )N 4 + 2( + 1)2 N 2 + (

2

+ 2 − 3) > 0

Luego, reemplazando = 4. (1) 2 (2) 1

e intersectando las soluciones, obtenemos que N ≥ 19.

n(3) Debemos encontrar el t´ rmino de mayor orden de e
i=0 n

i3 , que obtenemos considerando que
n

(i + 1)4 − i4 = (n + 1)4 =
i=0 i=0

(4i3 + 6i2 + 4i + 1)

´ Como solo nos interesa el t´ rmino de mayor nivel, obtenemos que e
n

i3 =
i=1

1 (n + 1)4 − 6 4
1 4

i2 − 4

i−

1 =

n4 + potencias de n menores que 4 4

Luego, l´ an = ım
n−→∞

1

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(4) l´ ım (5) l´ ım (6) l´ ım

n4 n3 +1

−

n3 n2 +n+1

= l´ ım √ 3

n4 (n2 +n+1)−n3 (n3 +1) (n3 +1)(n2 +n+1)

= l´ n6 +... = 0 ım n +...
1 = l´ (n+1)2/3 +n(n+1)+n2/3 = 0 ım

5

√ 3

n+1−
√

√ 3

n = l´ ım
n

n+1−

√ 3

n

(n+1)2/3 +n(n+1)+n2/3 (n+1)2/3 +n(n+1)+n2/3 n n

√
n

n

√ n+ n

= l´ ım √ n√n n+
1 4

√ n+ n

= l´ √ 1√ = 0 ım 4 √
n+1/4 1 2

(7) l´ ım (8) l´ ım

√
3

n+1−
6 n

= l´ √n+1+√n = ım

27 +

−3=0 = l´ 2 ım
n+1

(9) l´ 2 ım

n+1

+4n+1 2n +4n
n

+22n+2 2n +2n

= l´ 2 22 ım

n+1

1+2n+1 1+2n

= l´ 2 21 +1 . ım n n
2

1

+2

(10) l´ n+(−1) = l´ ım n+ln n ım (11)
n−→∞

1+ n 1+ ln n n

(−1)n

=1
1 1+x4

l´ n2 arctan ım
n nn

1 n2
n

= l´ ım

+6 (12) 0 ≤ 5n +6n ≤ 5 7n = 3 +7 √ √ √ n (13) n n! = n 1 · 2 · . . . · (k − 1) · k · . . . · n ≤ k n−k → k ∀k, entonces n n! → ∞

arctan x2 = l´ ım x2 x−→0 x−→0 n 5 n + 6 −→ 0 7 7 n−→∞

2x

2x

=1

(14) (15)

1 e−nx 0 x2 +1

≤

1 −nx e 0

=
2n en

e−nx 1 −n |0

=

1−en n

−→ 0

2n + en n = 3n + (ln n)

+1
ln n n e

3n en

+

→0´ (16) Aplicando integracion por partes, dos veces, tenemos que
1

e−x sin(nx)dx =
0

n − ne−1 cos(n) − e−1 sin(n) −→ 0 n2 + 1

5.

√ n 0,001 = 1 √ n b) l´ ım n2 + 1 = 1 a) l´ ım
n n c) l´ (1,002)n = l´ en ln(1,002) = 0 ım ım

d) l´ (0,99)n = ∞ ım n e) l´ an = 0, 12 ım 6. Sin p´ rdida de generalidad, supongamos que a = m´x{a, b, c}, luego e a l´ ım √ n an + bn + cn = l´ a ım 1+ b a≤1 n

2

n→∞

n

+

c a
≤1

n

=a

7.
n→∞

l´ ım

2 n 1 + 2 + ··· + 2 n2 n n

1 = l´ ım n→∞ n2

n

i = l´ ım
i=1

n→∞

1 n(n + 1) = 2n2 2

8.

a) a1 = 0,5 a2 = 0,366667 a3 = 0,274242 a4 = 0,217011 b) ∀i ∈ {1, . . . , n}
1 n2 +1

≥

1 n2 +i ,

n

luego an =
i=1

1 n2 +i

≤

n n2 +1

→0

2

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9.

a) x1 = 0,707107 x2 = 0,855462 x3 = 0,906414 x4 = 0,93126 b) De manera similar al ejercicio anterior, tenemos que a ambos lados obtenemos que l´ xn = 1 ım
n−→∞ √ n n2 +n

≤ xn ≤

√ n , n2 +1

entonces, tomando l´mite ı

10. Notemos que
∞ k=1 1 k2

1 n2

+

1 (n+1)2

+ ··· +

1 (2n)2

∞

≤
k=n

1 k2

∞

→ 0 pues
k=1

1 k2

es...