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En cálculo, una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, a ∞, o a −∞. Además una integral definida es impropia cuando la función integrando de la integral definida no es continua en todo el intervalo de integración. También se pueden dar ambas situaciones.
Si la función f al serintegrada de a a c tiene una discontinuidad en c, especialmente en la forma de unaasíntota vertical, o si c = ∞, entonces la integral

Puede ser más conveniente redefinirla de la siguiente forma:

En algunos casos, la integral de a a c ni siquiera está definida, puesto que las integrales de la parte positiva y negativa de f(x) dx entre a y c son ambas infinitas, sin embargo el límite puede existir.Estos casos corresponden a las llamadas "integrales impropias", es decir, aquellas cuyos valores no pueden definirse excepto como límites.
La integral

puede interpretarse como:

pero desde el punto de vista del análisis matemático no es obligatorio interpretarla de tal manera, ya que puede interpretarse como una integral de Lebesgue sobre el intervalo (0, ∞). Por otro lado, el uso dellímite de integrales definidas en intervalos finitos es útil, aunque no sea como forma de calcular su valor.
En contraste al caso anterior,

no puede ser interpretada como una integral de Lebesgue, ya que

Ésta es una "verdadera" integral impropia, cuyo valor está dado por

Llamamos singularidades de una integral impropia a los puntos de la recta real extendida en los cuales debemos utilizarlímites.
Tales integrales son frecuentemente escritas en forma simbólica de igual forma que una integral definida, utilizando un infinito como límite de integración. Esto no hace más que "ocultar" el debido proceso de calcular los límites de la integral. Utilizando la más avanzada integral de Lebesgue en lugar de una integral de Riemann, uno puede a veces evitar tal operación. Pero si sólo se deseaevaluar el límite para obtener un valor definido, tal mecanismo pudiera no resultar de ayuda. El concepto de integral de Lebesgue es más o menos esencial en el tratamiento teórico de latransformada de Fourier que hace uso extensivo de integrales sobre el total de la recta real.
Límites infinitos de integración[editar · editar fuente]
Las integrales impropias más básicas son integrales como:Como dijimos anteriormente éstas no necesitan ser definidas como una integral impropia, ya que pueden ser construidas como una integral de Lebesgue. Sin embargo, para propósitos de computaresta integral, es más conveniente tratarla como un integral impropia, i.e., evaluarla cuando el límite superior de integración es finito y entonces coger el límite ya que este límite se acerca a ∞. Laprimitiva dela función que está siendo integrada es arctan x. La integral es

por lo que el área bajo la curva nunca puede ser definida de forma verdadera.
Asíntotas verticales en los límites de integración[editar · editar fuente]
Considera

Esta integral involucra una función con una asíntota vertical en x = 0.
Uno puede obtener el valor de esta integral evaluándola desde b a 1, y entonces tomando ellímite como b tendiendo a 0. Nótese que la anti-derivativa de la anterior función es

la cual puede ser evaluada por sustitución directa para dar el valor

El límite cuando b → 0 es 3 − 0 = 3.
Valores principales de Cauchy[editar · editar fuente]
Artículo principal: Valor principal de Cauchy.
Considera la diferencia en los valores de dos límites:


La primera es el valor principal deCauchy

Similarmente, tenemos

pero

La primera es el valor principal

Todos los límites anteriores son casos de la forma indeterminada ∞ − ∞.
Carácter y valor de las Integrales Impropias[editar · editar fuente]
Si la integral que nos ocupa es de fácil resolución podemos determinar su carácter mediante el cálculo de la integral impropia. Según el resultado que obtengamos sabremos si es...