Secciones Cónicas

SECCIONES CÓNICAS

PARÁBOLA

Definición:
* Dado un punto cualquiera de la parábola, la distancia de dicho punto a F es la misma que la distancia a la directriz .
d(P,F) =d(P,L)


ECUACIÓN GENERAL:
* Sea P= V + X’u + Y’u
* F= V + pu
* L : Q = V - pu + tu
* d(P,F) =d(P,L)

DEFINICION:

* Y’2= 4pX’2

EC:

CASOS DE ECUACION

EJE FOCAL PARALELO AL EJE X
* u = i (no hay rotación de ejes)
* i = (1,0)
* V = (h , k) --------> x’ = x-h y y’= y-k
* Reemplazando en y’2 = 4px’

(y-k)2 = 4p(x-h)

GRAFICA EJE FOCAL // EJE X:

EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y
* u = j (rotación de 90)
* j = (0,1)
* V = (h , k) --------> x’ = y-k y y’ = -(x-h)
*Reemplazando en y’2 = 4px’
(x-h)2 = 4p(y-k)

GRAFICA EJE FOCAL // EJE Y

CASO PARTICULAR :
EL VÉRTICE (V) EN EL ORIGEN
* v(h,k) de una parábola se encuentra en el origen de coordenadas (0,0) v= (h,k) =(0,0) h=0 ,k=0 tenemos l as siguientes ecuaciones :
A. (Y-k)2 =4p(x-h)
B. (X-h)2=4p(y-k)

A) PARÁBOLA CON EL EJE X COMO EJE FOCAL

y2 = 4pxy2 = -4px

B)PARÁBOLA CON EL EJE Y COMO EJE FOCAL:

x2 = -4py

x2 = 4py

RECTA TANGENTE Y NORMAL DE PARÁBOLA

RECTAS TANGENTE DE LA PARÁBOLA
* Tenemos un punto de contacto (xo ,y0) de la curva , se tiene que la parábola :
Y2 =4pX

* Tiene como ecuación de la recta tangente en el punto de contacto (x0,y0)
* LT : YY0 = 4p (X+ X0)/2* Y = 2py0(x+x0)

GRAFICA DE LA RECTA TANGENTE A LA PARÁBOLA:


APLICACIONES DE LA PARÁBOLA

* La entrada de una iglesia tiene la forma de parábola de 9 m de alto y 2 m de base .toda la parte superior es una ventana de vidrio cuya base es paralela al piso y mide 8m ¿Cuál es la altura máxima de la ventana?
Solución :
La ecuación delarco parabólico es:
P : x2 = 4p(y-9) (1)
si A(6,0) € P (6) 2 = 4p(0,9) p=-1
Luego en (1) P : x2 = 4p(y-9) y =5
Por lo tanto la altura de la ventana es:
H = |ov | - |oh | = 9 – y
= 9- 5 = 4m




* Un depósito de agua tiene sección transversal parabólica cuando el nivel AB DEL AGUA alcanzauna altura de 6m su longitud |A´B´ | cuando el nivel del agua desciende 4m.
Solución:
La ecuación de la sección transversal es:
P: x2 = 4py
Como |AB| =24 sus extremos tiene por coordenadas :
A ( -12,6) y B(12,6) (1)
Si B(12,6) € P(12) 2 =4p(6) P=6
* Entonces en (1) x2 = 24y, cuando el agua desciende 4m los extremos del segmento A´B´ sonA´(-x,2) y B´(x,2)
Si b´(x,2) € P x2 =24(2) x=4√3
|A´B´ | = 8√3



* Se plantea hacer un arco parabólico con eje vertical, cuyos puntos de apoyo esta separados por una distancia de 30 si el foco de la parábola debe estar a 8 m de altura, ¿cuál es la altura que debe tener al arco?
Dado que la amplitud del arco parabolico es de 30 m ,los puntos de apoyo tendran porcoordenadas a(-15,0) y b (15,0)
la ecucacion del arco parabolico es d ela foprma
P: x2 = 4p(y-k) (1)
Si f(h,k+p) =8 p=8-k
luego en (1) P: x2 = 4(8-k)(y-k)
si B(15,0) € P (15) 2 =4(8-k)(0-k) donde se tiene :
4k2 -32k-225 =0 k=25/2 ó k=-9/2
Por lo tanto tenemos la altura del arco es :
k=12.5m

* El cable de un puente colgante cuelga enforma de parabola cuando el peso esta uniformaente distribuido horizoatamenle .la distancia entre dos torres es 1500 pies, los puntos de soporte del clable en las torres estan a 220pies sobre la carretea ,y el punto ma sbajo del cable esta a 70 pies sobre la carretera hallar la distncia vertical entre el cable y el punto de la carretera situado a 150 pies del pie de la torre.

* La ecuacion...