separata funciones

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL











ROSA N . LLANOS VARGAS














INTRODUCCIÒN

Esta segunda edición del presente material ha sido elaborado para servir de apoyo en el aprendizaje del tema de funciones vectoriales de una variable real para los estudiantes de Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica e Ingeniería enEnergía de la Universidad Nacional del Santa.

Cada sección comprende el desarrollo teórico del tema , ejemplos de aplicación y ejercicios propuestos para fijar el aprendizaje , estos deben ser complementados con los ejercicios y problemas que aparecen al final del material a manera de reforzamiento de lo aprendido.

Se entiende que el lector está familiarizado con los temas de cálculodiferencial e integral de funciones reales de una variable real y con la teoría vectorial fundamentalmente.

Sucesivamente se desarrollan la definición de las funciones de R en Rn , la gráfica del rango, la parametrización de curvas, el cálculo diferencial e integral, el triedro móvil curvatura , torsión y las fórmulas de Frenet Serret .

Cualquier sugerencia o comentario se agradecerá yservirá para mejorar futuras ediciones de este material.


ROSA N. LLANOS VARGAS Nuevo Chimbote, Abril 2013
ronollava@hotmail.com





INDICE
Pág
Sección 1 Funciones de R en Rn 3
1.1 Definición 3
1.2 Operaciones con funciones vectoriales de una variable real 5
1.3 Curvas en Rn 6
1.4 Parametrizacón de curvas 7
Sección 2 Cálculodiferencial 11
2.1 Límites 11
2.2 continuidad 14
2.3 Diferenciabilidad 15
Sección 3. Integración 17
3.1Integración de funciones vectoriales de variable real 17
3.2 longitud de arco de curvas 18
3.3 Función longitud de arco 19
Sección 4 Triedro móvil 21
4.1 Vector tangente unitario 22
4.2 Vector normal y vector binormal 22
4.3Componentes de la aceleración 23
4.4 Plano osculador, normal y rectificante 24
4.5 Curvatura y torsión 25
Bibliografía 28



SECCIÓN 1. FUNCIONES DE IR EN IRn
1.1 Definición Una función que tiene dominio en un subconjunto de los números reales y rango en IRn se denomina función vectorial de variable real.
Simbólicamente;
F: I ⊂ IR ⇾IRn
t F(t)
Lafunción F asocia a cada número real t ∈ IR un y solo un vector F(t) en IRn ; donde
F(t) = ( f1(t) , f2(t) , f3(t) ,…, fn(t) )
Cada fi es una función real de una variable real, t;
fi: Dom(fi)⊂ IR ⇾ IR ; ∀ i = 1 , 2, 3 , …, n
tfi(t)
Dom(fi) es el dominio de la función real fi.
Las funciones fi son llamadas funciones coordenadas o componentes.

El dominio de F se denota por Dom(F)y es dado por la interseccion de los dominios de sus funciones componentes. Es decir;


NOTA.- El dominio de F es el mayor subconjunto de IR para el cual F(t) tiene sentido
Ejemplo 1. Sea la función vectorial F : IR ⇾ IR3, tal que
Sus funciones componentes son: f1(t) = t ; f2(t) = ; f3(t) = ln(4 – t ) , cuyos dominios son:
Dom(f1) = IR ; Dom(f2) = ]1 , + ∞[ ; Dom (f3) =]-∞ , 4 [
La intersección de los dominios es ]1 ,4 [ = Dom(F)
Ejemplo 2. Sea F(t) = ( 1,3, 0 ) + t (-1,-1,3 ) , t ∈ IR . A cada número real , t , la función F le asocia un radio vector en IR3 que termina en la recta que tiene dirección (- 1,-1,3) y pasa por el punto (1,3, 0).
F(t) = ( 1 – t , 3-t , 3t) . Sus funciones componentes son f1(t) = 1- t ; f2(t) = 3- t ; f3(t) = 3t
Dom(f1) =Dom(f2) = Dom(f3) =IR ; luego Dom ( F) = IR y su rango son todos los puntos de la recta L.
Ejemplo 3. Sea G(t) = ( 4 cost , 4 sent ) ; t ∈ [0, 2π ]
G : [0, 2π ] ⇾ IR2
La función G asocia a cada ángulo polar , t , un punto de la forma x = 4cost , y = 4sent que pertenecen a la circunferencia de centro el origen de coordenadas y de radio 4

Ejemplo 4. Graficar el rango de F(t) = (t , t, t2...