serie de ejercicios geometria afin ene10

Escuela Politécnica Nacional
Algebra Lineal II y Cuadrática
Solución Serie de Ejercicios Geometría Afín
Alejandro Coloma
Enero del 2010

1. Sea E3 dotado del sistema de referencia (0, ı, , k). Se tiene
(D) :

(D ) :

x − 2z = 1
y−z = 2
x+y+z = 1
x − 2y + 2z = a

a) ¿Para qué valores de a, D y D son coplanares?
b) Dar la ecuación del plano que contiene a a D y D
Desarrollo: Las ecuacionesparamétricas de D y D son, respectivamente:

(D) :

x = 1 + 2α
y = 2 + α
z =
α

P0 (1, 2, 0) , v = (2, 1, 1)
(D ) :

x =
y =
z =

2+a
3
1−a
3

−
+

4
3α
1
3α

α

2+a 1−a
4 1
,
,0 , u = − , ,1
3
3
3 3
Las rectas afines serán coplanares, si pertenecen al mismo plano:
Q0

Π : (1, 2, 0) + R(2, 1, 1) + R(−4, 1, 3)
Q0 debe pertenecer a Π, entonces
Q0 = (1, 2, 0) + R(2, 1, 1) + R(−4, 1, 3)
lo que nos lleva aresolver el sistema:
2+a
3
1−a
3

0
c2 =
1−a
2 − 15 =

= 1 + 2c1 − 4c2
= 2 + c1 + c2
=
c1 + 3c2

3
2+a
3 − 3
1−a
3

1
10

=

1−a
30

⇒

1





c1
= −3c2
⇒ 1 − 10c2 = 2+a
3


2 − 2c2 = 1−a
3
2=

1 − a + 5 + 6a
15

⇒

a = −4

2. Sea (0, ı, ) un sistema de referencia en E2 , A(1, 0), B(0, 1), C(0, 2). Para m ∈ R se construye las rectas
D : y = mx , y D : y = −mx, y se coloca M ∈ D ∩ (AB) y M ∈ D∩ (AC) [si es posible].
Mostrar que la recta (M M ) pasa por un punto fijo (independiente de m)
Desarrollo:
AB : x + y = 1
x =
α
y = 1 − α

(AB) :

AC : 2x + y = 2
x =
β
y = 2 − 2β

(AC) :

Sean M (x1 , y1 ) y M (x2 , y2 ), y m la pendiente de la recta (M M )
(y − y1 ) = m (x − x1 )
y2 − y1
(x − x1 )
x2 − x1
y2 − y1
y = y1 +
(x − x1 )
x2 − x1
y − y1 =

x =
y = y1 +

(M M ) :

t
y2 −y1
x2 −x1 (t

−x1 )

M ∈ D ∩ (AB)
D ∩ (AB) : mα = 1 − α
1
m+1
m
1
,
m+1 m+1

α=
M
M ∈ D ∩ (AC)

D ∩ (AC) : −mβ = 2 − 2β
2
2−m
2
−2m
,
2−m 2−m

β=
M

y =
=
=
=

m
+
m+1

−2m
2−m
2
2−m

−
−

m
m+1
1
m+1

t−

1
m+1

m
−2m(1 + m) − m(2 − m)
1
+
t−
m+1
2(m + 1) − 2 + m
m+1
m
m+4
1
−
t−
m+1
3
m+1
4 − t(m + 4)
3

entonces
(M M ) :

x =
y =

t
4−t(m−4)
3

Basta tomar t = 0 para mostrar que esta recta pasa por el punto Q0, 43 que no depende del parámetro
m.
2

3. En R3 sea Fαβ = {(x, y, z) / αx2 + y + 3z = β − 1} ¿Para que valores de α y β el subconjunto Fαβ es:
un plano vectorial de R3
un plano afín de R3
una recta afín de R3
Desarrollo:
Para que sea un plano no debe tener términos cuadráticos y además debe pasar por el origen.
Si α = x1 y β = 1 entonces
Fαβ = {(x, y, z) / x + y + 3z = 0}
es un hiperplano de R3.
Es necesaria que se cumpla la misma condición de términos cuadráticos, pero puede no pasar por
el origen.
Si α = x1 y β ∈ R, entonces
Fαβ = {(x, y, z) / x + y + 3z = β − 1}
que es un hiperplano afín
No puede ser una recta afín
4. Determinar el menor subespacio afín que contiene a las rectas
D : P = (1, 1, 1) + R(1, 1, 1)
D : P = (0, 1, 1) + gen{(0, 0, 1)}
Desarrollo:
Como los vectoresdirectores no pertenecen a la misma recta vectorial, entonces las rectas D y D no
pueden ser paralelas, entonces veamos si se intersecan en un punto o son disjuntas
(D) :

x1 = 1 + α
x2 = 1 + α
x3 = 1 + α
u1 = (1, 1, 1)

(D ) :

x1 = 0
x2 = 1
x3 = 1 + α
v1 = (0, 0, 1)

D∩D
1+α = 0
1+α = 1
1+α = 1+α
entonces
α = α,

0=1

lo cual es falso, entonces las rectas no se intersecan.
D∩D =∅
dim( D ∪ D ) = dimD +dimD − dim(D ∩ D ) + 1 = 1 + 1 − 0 + 1 = 3
el menor subespacio afín que contiene a las rectas es todo el subespacio afín E3
3

5. En R3 se consideran los siguientes subespacios afines
S = Af f {(1, 2, 2), (0, 1, 1)}
T = {P = (1, 0, 1) + gen{(1, 1, 1), (0, 1, 1)}}
Calcular S ∩ T y S + T . Dar sus dimensiones.
Desarrollo:
(S) :

(T ) :

x =
α
y = 1 + α
z = 1 + α

x = 1 + β
y =
β + β
z = 1 + β + βUna recta y un plano en R3 o bien son paralelos, o bien se intersecan en un punto; como el vector
director de S es linealmente dependiente con los vectores directores de T podemos concluir que los
subespacios afines son débilmente paralelos
S ⊂ T ⇒ S < |T
Veamos si el punto fijo de S, Q(0, 1, 1) pertenece a T , de este modo podremos determinar si S ⊂ T
x=0 =
1+β
y=1 =
β+β
z =1 = 1+β+β



...