serie de fourier

TRATAMIENTO DE SEÑALES
DIGITALES

Series de Fourier

Contenido

1. Funciones Periódicas
2. Serie trigonométrica de Fourier
3. Componente de directa, fundamental y armónicos
4. Ortogonalidad de las funciones seno y coseno
5. Cálculo de los coeficientes de la Serie de Fourier
6. Simetrías en señales periódicas
7. Fenómeno de Gibbs
8. Forma Compleja de las Series de Fourier
9.Espectros de frecuencia discreta
10. Potencia y Teorema de Parseval
11. De la serie a la Transformada de Fourier.
12. Obtención de la serie de Fourier usando FFT
13. Espectro de Frecuencia y medidores digitales

Preámbulo
El análisis de Fourier fue introducido en 1822 en la
“Théorie analyitique de la chaleur” para tratar la
solución de problemas de valores en la frontera en la
conducción delcalor.
Más de siglo y medio después las aplicaciones de esta
teoría son muy bastas: Sistemas Lineales,
Comunicaciones, Física moderna, Electrónica,
Óptica y por supuesto, Redes Eléctricas entre
muchas otras.

Funciones Periódicas
Una Función Periódica f(t) cumple la siguiente
propiedad para todo valor de t.
f(t)=f(t+T)
A la constante mínima para la cual se cumple lo
anterior se lellama el periodo de la función

Repitiendo la propiedad se puede obtener:
f(t)=f(t+nT), donde n=0,1,  2, 3,...

Funciones Periódicas
t
t
Ejemplo: ¿Cuál es el período de la función f(t)  cos( 3 )  cos( 4 )?

Solución.- Si f(t) es periódica se debe cumplir:
t
t
f(t  T)  cos( t T )  cos( t T )  f(t)  cos( 3 )  cos( 4 )
3
4

Pero como se sabe cos(x+2kp)=cos(x) paracualquier entero k,
entonces para que se cumpla la igualdad se requiere que
T/3=2k1p, T/4=2k2p
Es decir,
T = 6k1p = 8k2p
Donde k1 y k2 son enteros,
El valor mínimo de T se obtiene con k1=4, k2=3, es
decir,T=24p

Funciones Periódicas
Gráfica de la función

t
t
f(t)  cos( 3 )  cos( 4 )

3
2

T

f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)

f(t)

1
0
-1

-2

24p
-3

0

50

100

150

t200

Funciones Periódicas
Podríamos pensar que cualquier suma de funciones seno
y coseno produce una función periódica.

Esto no es así, por ejemplo, consideremos la función
f(t) = cos(w1t)+cos(w2t).
Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros
m, n tales que
w1T= 2pm, w2T=2pn
De donde
w1 m
w2



n

Es decir, la relación w1/ w2 debe ser un número racional.Funciones Periódicas
Ejemplo: la función cos(3t)+cos(p+3)t no es periódica,
ya que w1  3 no es un número racional.
w2

3 p

f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)t)

2

f(t)

1

0

-1

-2

0

5

10

15

t

20

25

30

Funciones Periódicas
ACTIVIDAD 1: Encontrar el periodo de las
siguientes funciones, si es que son
periódicas:
1) f(t) = sen(nt), donde n es un entero.
2)f(t)= sen2(2pt)
3) f(t)= sen(t)+sen(t+p/2)
4) f(t)= sen(w1t)+cos(w2t)
5) f(t)= sen(2 t)

Serie Trigonométrica de Fourier
Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T
pueden expresarse por la siguiente serie, llamada
Serie Trigonométrica de Fourier
f(t) = ½ a0 + a1cos(w0t)+a2cos(2w0t)+...
+ b1sen(w0t)+b2sen(2w0t)+...
Donde w0=2p/T.
Es decir,


f ( t )  1 a 0   [a n cos(nw0 t)  b n sen (nw0 t )]
2
n 1

Serie Trigonométrica de Fourier
Es posible escribir de una manera ligeramente
diferente la Serie de Fourier, si observamos que
el término ancos(nw0t)+bnsen(nw0t) se puede
escribir como
a2
n






cos(nw0 t )  2
sen (nw0 t ) 

a 2  b2
a n  b2
n
n
 n


b2 
n

an

bn

Podemos encontrar una manera más compacta
para expresarestos coeficientes pensando en un
triángulo rectángulo:

Serie Trigonométrica de Fourier
an
bn

Cn  a 2  b 2
n
n

n

an

a2
n



b2
n

bn
a2
n



b2
n

 cos n
 senn

Con lo cual la expresión queda
Cn cos n cos(nw0 t )  senn sen(nw0 t )

 Cn cos(nw0 t  n )

Serie Trigonométrica de Fourier
Si además definimos C0=a0/2, la serie de...