Series de potencias

I. Series de potencias. Polinomios de Taylor. 1. Series de Taylor.
En este capítulo nos acercaremos al conjunto de funciones que pueden expresarse en series de potencia, las llamadas series de Taylor. Es decir, trabajaremos con funciones que pueden escribirse como una suma infinita de monomios, cuyos exponentes toman sucesivamente los valores: 0,1,2,3,...,

Al hablar de estas funciones se dicetambién que “f(x) está desarrollada en potencias de ”. Cuando restringimos la serie anterior a sólo unos términos obtenemos un polinomio de Taylor, cuyos valores aproximan a los de la función original f(x). En diversas aplicaciones de la ingeniería, la aproximación de valores de una función mediante polinomios es un algoritmo fundamental. El empleo de un determinado polinomio de Taylor —paraaproximar a la función f(x)— depende del número de derivadas que esta función posea; del punto x 0 que se haya elegido; del intervalo dónde el polinomio sustituirá a la función y de la diferencia entre los valores del polinomio y los de la función. En este capítulo nos ocuparemos en el estudio de las series de potencia y polinomios de Taylor de funciones básicas: trigonométricas, exponencial,logarítmica y geométrica.

1.1 Polinomios de Taylor. Con una calculadora podemos determinar, con exactitud suficiente, valores de funciones como . Esta facilidad de cálculo se sostiene en un resultado debido a Brook Taylor (un matemático Inglés que vivió entre 1685 y 1731). Antes de presentarlo indicaremos algunos acuerdos sobre la notación: a la enésima derivada de f(x) la denotaremos con ; por lo queindica la segunda derivada de f, y . Por su parte, la función factorial n! es el producto ; por ejemplo, 4! (cuatro factorial), es igual a 24. Por conveniencia, 0! (cero factorial) se define como igual a la unidad (0! = 1).

Pregunta 1.1

a. ¿Puede simplificar el cociente b. ¿Se cumple la igualdad

? ?

Teorema 1.(Taylor). Si f(x) es derivable n veces en el intervalo de números reales [a,b] y x 0 un
número en (a, b), entonces f(x) se puede expresar como el polinomio:

Los coeficientes y de las dos fórmulas siguientes,

se determinan con el apoyo de las derivadas sucesivas de

;

.

1

Pregunta 1.2

¿Cuántos valores se requieren para calcular los tres primeros coeficientes del polinomio de Taylor? 1. Es común que el inicio de un experimento se indique con el valor x= 0, por ello no es infrecuente que en las dos fórmulas anteriores x0 sea cero. Por lo general, la longitud del intervalo (a, b), es pequeña y x0 es su centro. El polinomio de Taylor en x0 = 0 recibe el nombre de polinomio de McLaurin.

2. Al monomio

se le denomina residuo.

Ejemplo 1.1. Determine el polinomio de Taylor de grado cinco y el de grado uno de
, en el punto x 0 = 0, sin incluirel residuo. Después grafique polinomio. El polinomio de grado cinco desarrollado en x 0 tiene la forma: . Para determinar sus seis coeficientes necesitamos f(0) y las primeras cinco derivadas de Sen x, ; y . Y al evaluar en se obtiene f(0) = 0; son iguales a cero y el polinomio es: con uno y otro

. Entonces, los coeficientes .

La figura 1.1 muestra este polinomio y la función Sen x. Lafigura 1.2 muestra a Sen x y su polinomio de Taylor de grado uno, .

Fig. 1.1 La función Sen x y su polinomio p(x) de grado 5.
2

Fig. 1.2 Sen x y su polinomio de grado 1. Ejemplo 1.2. Muestre algunas discrepancias numéricas entre Sen x y su polinomio de
Taylor de grado tres , en el intervalo [- B, B].

La figura 1.3 muestra la gráfica de este polinomio, junto a la de la función Sen x en elintervalo [- B , B]. La forma —la geometría— de Sen x y la del polinomio se asemejan en vecindades pequeñas de cero.

Fig. 1.3 Sen x y el polinomio p(x) =
3

El polinomio [- B, B]: x = 0, x =

corta al eje horizontal en tres puntos, en el intervalo ; en cambio Sen x lo hace en x = 0, x = ± B. La discrepancia entre y± ; y su

B es del 22 %. El máximo del polinomio en [-B , B] es 0.93 y...