series

Cap´
ıtulo 10

Series de Funciones
10.1.

Series de Funciones

Definici´n 10.1 Sea X ⊂ R y (fn )n∈N una sucesi´n de funciones reales sobre
o
o
X. Para n ∈ N definimos Sn : X → R por
n

Sn (x) =

fj (x).
j=0

Llamamos a (Sn )n∈N la serie infinita asociada a (fn )n∈N y usamos la notaci´n
o
∞

fn

o

fn .

n=0

Hay dos nociones de convergencia que podemos usar, si (Sn )converge puntualmente a f : X → R decimos que la serie
fn converge puntualmente a f en X.
Si (Sn ) converge uniformemente a f , entonces
fn converge uniformemente a
f.
Los teoremas que hemos obtenido anteriormente para sucesiones de funciones
pueden aplicarse a las series de funciones.
Teorema 10.1 Sea
fn una serie de funciones reales continuas definidas sobre X ⊂ R, que convergeuniformemente a f en X, entonces f es continua.
Demostraci´n. (Sn )n∈N es una sucesi´n de funciones continuas que convergen
o
o
uniformemente a f en X. Por el Teorema 2.3 f es continua.
De manera similar pueden obtenerse los siguientes teoremas a partir de los
resultados correspondientes de las secciones anteriores.
Teorema 10.2 Sea I ⊂ R un intervalo abierto y para n ∈ N fn : I → R una
funci´ndiferenciable en I. Si
o
fn converge puntualmente a f en I y si
fn

CAP´
ITULO 10. SERIES DE FUNCIONES

186

converge uniformemente en I entonces f es diferenciable en I y f es la suma
uniforme de
fn .
Teorema 10.3 Si (fn )n∈N es una sucesi´n de funciones en R[a, b] tal que
o
converge uniformemente a f en [a, b] entonces f ∈ R[a, b] y
b

fn

b

fn dx.

f dx =
a

a

n

Elsiguiente teorema nos provee un criterio para determinar si una serie de
funciones converge absolutamente.
Teorema 10.4 (Weierstrass) Sea (fn ) una sucesi´n de funciones reales defio
nidas sobre X y tales que supx∈X |fn (x)| ≤ Mn para todo n ∈ N. Si
Mn
converge entonces
fn converge uniformemente en X.
Demostraci´n. Como
o
n

Mn converge, dado ε > 0 existe N tal que si n > m > N
n

fi(x) ≤
i=m

n

|fi (x)| ≤
i=m

Mi < ε

para todo x ∈ X.

i=m

Una aplicaci´n del Teorema 2.1 completa la demostraci´n.
o
o
Ejemplo 10.1 (Riemann)
Una funci´n integrable que es discontinua en todo intervalo.
o
Definimos la funci´n
o
B(x) =

x− x
0

si x = k/2, para todo k ∈ Z,
si x = k/2, para alg´n k ∈ Z
u

donde x denota el entero m´s cercano a x. La funci´n
a
o
∞f (x) =

B(nx)
n2
n=1

(10.1)

definida en [0,1] es discontinua en 1/2, 1/4, 3/4, 1/6, 5/6, . . . Sin embargo, la serie
(10.1) converge uniformemente por el criterio de Weierstrass, y las funciones
fn (x) =

B(nx)
n2

son integrables seg´n Riemann porque tienen un n´mero finito de discontinuidades.
u
u
Ejemplo 10.2
Una funci´n continua que no es diferenciable en ning´ n punto.o
u
La funci´n del ejemplo anterior, una vez integrada, es un ejemplo de una
o
funci´n continua que no es diferenciable en un conjunto denso de puntos. El
o

10.1. SERIES DE FUNCIONES

187

siguiente paso es preguntarse si existen funciones continuas que no sean diferenciables en ning´n punto. Weierstrass demostr´ en 1872 que estas funciones
u
o
existen. La funci´n que consider´fue
o
o
∞

bn cos(an x)

f (x) =
n=1

que es uniformemente convergente para b < 1 y no tiene derivada en ning´n
u
punto si ab > 1 + 3π/2. Nosotros vamos a considerar un ejemplo propuesto por
Takagi en 1903. Consideramos la funci´n
o
K(x) =

x
0 ≤ x ≤ 1/2
1 − x 1/2 ≤ x ≤ 1,

y la extendemos peri´dicamente: K(x + 1) = K(x) para todo x y obtenemos
o
una funci´n continua conforma de zig zag. Definimos ahora
o
∞

f (x) =

1
1
1
K(2n x) = K(x) + K(2x) + K(4x) + · · ·
n
2
2
4
n=0

(10.2)

Como |K(x)| ≤ 1/2 y
2−n converge, vemos que la serie en (10.1) es
uniformemente convergente y por lo tanto la funci´n f es continua.
o
Para ver que esta funci´n no es diferenciable sea x0 un punto y consideremos
o
αn = i/2n y βn = (i + 1)/2n , donde i es el entero...