Sigma Algebra

Sigma-´lgebras
a
Objetivos. Definir la noci´n de σ -´lgebra y estudiar sus propiedades b´sicas.
o
a
a
Requisitos. Operaciones con conjuntos, operaciones con familias de conjuntos.
1. Notaci´n(conjunto de los subconjuntos). Sea X un conjunto. Entonces denoteo
mos por 2X al conjunto de todos los subconjuntos de X .
2. Definici´n (σ -´lgebra). Sea X un conjunto. Un conjunto F ⊆ 2X se llama σ-´lgebra
o
a
a
sobre X si cumple con las siguientes condiciones:
1. X ∈ F.
2. F es cerrado bajo complementos: si A ∈ F, entonces X \ A ∈ F.
3. F es cerrado bajo uniones numerables: si Ai ∈ Fpara todo i ∈ N y B =
entonces B ∈ F.

i∈ N

Ai ,

3. Propiedades elementales de σ -´lgebras. Se F una σ -´lgebra sobre X . Entonces:
a
a
1. ∅ ∈ F.
2. F es cerrada bajo interseccionesnumerables:
si Ai ∈ F para todo i ∈ N, entonces i∈N Ai ∈ F.
3. F es cerrada bajo uniones finitas:
si Ai ∈ F para todo i ∈ {1, . . . , m}, entonces

m
i=1

Ai ∈ F.

4. F es cerrada bajointersecciones finitas:
si Ai ∈ F para todo i ∈ {1, . . . , m}, entonces

m
i=1

Ai ∈ F.

5. F es cerrada bajo la operaci´n de diferencia de conjuntos:
o
si A, B ∈ F, entonces A \ B ∈ F.
4. Ejemplo de σ-´lgebra: todos subconjuntos de un conjunto. Sea X un conjunto
a
y sea F el conjunto de todos sus subconjuntos. Entonces F es una σ -´lgebra.
a
5. Ejemplo de σ -´lgebra: subconjuntos numerables ysus complementos. Sea
a
X un conjunto no numerable y sea F el conjunto que consiste en todos los subconjuntos
finitos o numerables de X y todos subconjuntos de X cuyos complementos son finitos onumerables. Entonces F es una σ -´lgebra.
a

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a

6. Intersecci´n de σ -´lgebras es σ -´lgebra. Sea {Fj : j ∈ J } una familia de σ o
a
a
algebras sobre X (el conjunto J puede serfinito, numerable o no numerable). Entonces
´
su intersecci´n
o
H :=
Fj
j ∈J

es σ -´lgebra sobre X .
a
7. Sigma-´lgebra generada por un conjunto de subconjuntos de X . Sea G ⊆ 2X .
a...