Sistema de ecuaciones

Sistema de ecuaciones.

En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas. Una solución para el sistema debe proporcionar un valor para cada incógnita, de manera que en ninguna de las ecuaciones del sistema se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad delsistema.
Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices.

Sistema general.

La forma genérica de un sistema de [pic]ecuaciones y [pic]incógnitas es la siguiente:
(1) [pic]
Donde [pic] son funciones de las incógnitas. La solución, perteneciente al espacio euclídeo [pic], será tal que el resultado de evaluar cualquierexpresión [pic]con los valores de dicha solución, verifique la ecuación.

Representación gráfica.

Los sistemas de 2 o 3 incógnitas admiten representaciones gráficas cuando las funciones [pic]en (1) son continuas a tramos. En cada ecuación se representa como una curva o una superficie curva. La existencia de soluciones en ese caso puede deducirse a partir de la existencia de intersecciones comunesa dichas curvas o superficies curvas.

Clasificación de los sistemas.

Un sistema de ecuaciones sobre [pic]puede clasificarse de acuerdo con el número de soluciones en:
• Sistema incompatible cuando no admite ninguna solución.
• Sistema compatible cuando admite alguna solución que a su vez pueden dividirse en:
❖ Sistemas compatibles indeterminados cuando existe un númeroinfinito de soluciones que forman una variedad continua.
❖ Sistemas compatibles determinados cuando admiten un conjunto finito de soluciones, o un conjunto infinito de soluciones aisladas con a lo sumo un número finito de puntos de acumulación.

Métodos de Resolución de Sistemas.

Sustitución.

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquierincógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemosseguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:
[pic]
En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita [pic]por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.
[pic]
El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita [pic]enla otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la [pic].
[pic]
Al resolver la ecuación obtenemos el resultado [pic], y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos [pic], con lo que el sistema queda ya resuelto.
[pic]
Se despeja una de las incógnitas (x) en una de las ecuaciones (la primera) y se obtiene:[pic]
Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación:
[pic]
Se resuelve la ecuación obtenida:
[pic]
Se sustituye la incógnita hallada en la primera expresión donde se despejó x:
[pic]

Igualación.

El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación seigualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.
Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita [pic]en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:
[pic]
Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.
[pic]
Llegados...