SISTEMA DE ECUACIONES

SISTEMA DE ECUACIONES
Es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático consistente en encontrar las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.
En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuacióndiferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.
Lasincógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices.
FORMAS GENERALES
Sistema general
La forma genérica de un sistema de ecuaciones algebraicas y incógnitas es la siguiente:
(1)
donde son funciones de las incógnitas. La solución, perteneciente al espacio euclídeo , será tal que el resultado de evaluar cualquier expresión con losvalores de dicha solución, verifique la ecuación.
Representación gráfica
Los sistemas de 2 o 3 incógnitas reales admiten representaciones gráficas cuando las funciones en (1) son continuas a tramos. En cada ecuación se representa como una curva o una superficie curva. La existencia de soluciones en ese caso puede deducirse a partir de la existencia de intersecciones comunes a dichas curvas osuperficies curvas.
Clasificación de los sistemas
Un sistema de ecuaciones sobre puede clasificarse de acuerdo con el número de soluciones en:
Sistema incompatible cuando no admite ninguna solución. Un ejemplo de sistema incompatible es {54x − 36y = 9, − 54x + 36y = 30}, ya que usando el método reducción y sumando miembro a miembro se obtiene la contradicción 0 = 39.
Sistema compatible cuandoadmite alguna solución que a su vez pueden dividirse en:
Sistemas compatibles indeterminados cuando existe un número infinito de soluciones que forman una variedad continua. Un ejemplo de sistema compatible indeterminado es {x + y = 1,2x + 2y = 2} ya que claramene la segunda ecuación es linealmente dependiente de la primera, habiéndo sido multiplicados todos los términos por 2.
Sistemascompatibles determinados cuando admiten un conjunto finito de soluciones, o un conjunto infinito de soluciones aisladas con a lo sumo un número finito de puntos de acumulación. Un ejemplo de sistema compatible determinado es {2x + 3y = 9,3x − 2y = 7} cuya solución única es y = 1 y x = 3.
Sistema lineal
Un sistema como el anterior en que las anteriores ecuaciones son funciones afines. A diferencia delcaso general, la solución de los sistemas de ecuaciones lineales son fáciles de encontrar cuando los coeficientes de las ecuaciones son números reales o complejos. También existen medios generales cuando los coeficientes pertenecen a un anillo, aunque la búsqueda de las soluciones en ese caso puede ser un poco más complicada.
Una característica importante de los sistemas lineales de ecuaciones esque admiten la llamada forma matricial. Esa forma permite representar el sistema usando tres matrices, de la siguiente forma:
(2)
La primera es la matriz de coeficientes, donde el término representa al coeficiente que acompaña a la j-ésima incógnita de la ecuación i-ésima. La segunda es la matriz de incógnitas, donde cada término se corresponde con una de las incógnitas que queremos averiguar.Y la tercera matriz es la de términos independientes, donde el cada representa al término independiente de la ecuación i-ésima.
Esta representación matricial facilita el uso de algunos métodos de resolución, como el método de Gauss, en el que, partiendo de la matriz aumentada (matriz de coeficientes a la que se le ha acoplado la matriz de términos independientes), y aplicando transformaciones...