Sistemas de ecuaciones lineales

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
TEMA3: Métodos iterativos para Sistemas de Ecuaciones Lineales

 

TEMA 3. Métodos iterativos para Sistemas de Ecuaciones Lineales
3.1 Métodos iterativos: introducción 
Aplicar un método iterativo para la resolución de un sistema S  Ax=b, consiste en transformarlo en lo que se denomina un sistema de punto fijo, que sea equivalente al dado y cuya solución se 
aproxima paso a paso. 
Para obtener el sistema de punto fijo equivalente al dado se elije una matriz M que sea fácil de 
invertir y escribimos la matriz A como: 
A = M + (A – M),  entonces el sistema Ax=B se transforma en: 
(M + (A – M))x = b  Mx = (M – A)x + b 
Si designamos N = M‐A, nos queda  Mx = Nx + b  (*). 
La  aproximación  k‐ésima  de  la  solución,  x(k),  se  obtiene,  en  la  iteración  k,  a partir  de  la 
aproximación anterior  x(k‐1)  
Mx(k) = Nx(k‐1) + b 
Cuando  este  proceso  es  convergente  el  límite  de  las  aproximaciones  x(k)  cuando  k  es  la solución del sistema de punto fijo planteado y, en consecuencia, del sistema S inicial. 
En cada iteración, el sistema (*) es fácil de resolver si M es diagonal o triangular. Por otro lado, es conveniente que M no sea muy diferente de A. 
Las tres opciones para M que presentan mejores resultados son: 
 M = D , donde D es la matriz diagonal cuya diagonal es la de A  (Método de Jacobi) 
M = L+D, donde L+D es la parte triangular inferior de A  (Método de Gauss‐Siedel) 
 M = L+D/, donde  es un número elegido para ponderación  (Método de sobrerrelajación) 
Observaciones: 
 La  resolución  iterativa  no  es  aplicable a  todos  los  problemas  pero  resulta  muy  útil  para 
ciertos  tipos,  por  ejemplo,  si  el  número  de  incógnitas  es  muy  grande  y  la  matriz  de  los 
coeficientes dispersa. 
 La precisión  de  la  solución  obtenida  por  un  método  iterativo  dependerá  del  número  (k)  de 
iteraciones y de la convergencia del método. 
...