Sistemas De Ecuaciones Lineales

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
  Estudiaremos sistemas de ecuaciones de la forma : 

 donde , son constantes y son las incógnitas. Se dice que el sistema tiene ecuaciones con incógnitas o simplemente que es de . 
En la notación , i se refiere al renglón, y j se refiere a la columna donde está ubicado el elemento correspondiente.

MATRICES
El sistema de ecuacioneslineales se puede escribir en forma matricial si definimos: 
i)  La matriz de coeficientes:
 

ii)  La matriz de incógnitas:
 

iii)  La matriz de términos independientes o resultados:
 

Entonces el sistema es equivalente a la ecuación matricial:
 

donde el producto indicado es el producto de matrices. 
OPERACIONES ELEMENTALES 
Para una matriz A se definen tres operaciones elementales por renglones( o columnas ); nos remitiremos a las operaciones por renglones. Cuando se efectúan las operaciones elementales se obtiene una matriz equivalente, y se utiliza el símbolo de equivalencia. 
I.- Intercambiar dos renglones
Ejemplo: Si intercambiamos el renglón 1 y 3:
 
~
II.- Multiplicar un renglón por una constante distinta de cero
Ejemplo: Si multiplicamos el renglón3 por 2:
 

III.- Sumar un renglón a otro renglón
Ejemplo: Si sumamos el renglón 3 al renglón 2:
 
~
Las operaciones II y III se combinan para sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.
Ejemplo:
(i) Comenzamos con la matriz:
 

              (ii) Multiplicamos el renglón 1 por 2:
 
~
(iii) Sumamos el renglón 1 al renglón 2:
 
~(iv) Finalmente multiplicamos por el renglón 1 ( lo cual anula el paso 
                    (ii) ):
 
~
Ahorrando pasos podemos escribir simplemente:
 
~
Finalmente, las operaciones elementales se utilizan para “hacer ceros” debajo de algún elemento . 
Ejemplo: Hacer ceros debajo del elemento en la siguiente matriz:
 

Solución. Vemos que para lograr el objetivo, podemosmultiplicar el renglón 1 por 2 , y sumarlo al renglón 2. Tambien podemos multiplicar el mismo renglón 1 por –3, y sumárselo al renglón 3:
 
~
El objetivo final es transformar una matriz A en una matriz escalonada . 
Definición. Una matriz se llama escalonada si el primer elemento no cero en cada renglón está más a la derecha que el del renglón anterior. 
Ejemplos:
1) La matriz
 sí es escalonada. 
2) La matriz
 

no es escalonada. 
Obviamente el escalonamiento de una matriz se logra “haciendo ceros” debajo de los elementos adecuados. 
Ejercicios:
1) Usando operaciones elementales, escalonar la siguiente matriz:
 

Solución. La notación se explica por sí sola:
 


 

2) Escalonar la siguiente matriz:
 

Solución. Procedemos como en el ejercicioanterior:
 

Tenemos ahora todas las herramientas para estudiar nuestros dos primeros métodos numéricos de solución a sistemas de ecuaciones lineales.
ELIMINACIÓN GAUSSIANA

Este método se aplica para resolver sistemas lineales de la forma:


El método de eliminación Gaussiana (simple), consiste en escalonar la matriz aumentada del sistema:


para obtener un sistema equivalente :


donde lanotación se usa simplemente para denotar que el elemento cambió. Se despejan las incógnitas comenzando con la última ecuación y hacia arriba. Por esta razón, muchas veces se dice que el método de eliminación Gaussiana consiste en la eliminación hacia adelante y sustitución hacia atrás.
Ejemplo:
1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:


usando el método de eliminaciónGaussiana (simple). 
Solución . Escalonamos la matriz aumentada del sistema:


Y dividiendo el segundo renglón entre –3 , tenemos la matriz equivalente:


Por lo tanto, el sistema equivale a:


De la última ecuación tenemos ; sustituímos este valor en la ecuación de arriba para obtener ; sustituímos estos valores en la ecuación de arriba para obtener .  
Por lo tanto, la solución del...