Sistemas de ecuaciones

Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11 1
Curso 2o. Ingeniero de Telecomunicación.
Ampliación de Matemáticas.
Lección 2.
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES.
Curso 2010-11
1 Teoría general de los sistemas lineales
Consideremos el circuito de la figura
e=12sen(100t)V R = 4Ω
L= 1H
C= 0.25F
~
1i (t)
2i (t)
R = 6Ω
Aplicando las leyes de Kirchoffobtenemos que la ecuación que gobierna la intensidad de
corriente i1(t) que circula por el circuito de la izquierda es
i01(t) + 4(i1(t) − i2(t)) = 12sen (100t)
y que la ecuación que gobierna la intensidad de corriente i2(t) que circula por el circuito de la
derecha es
6i2(t) + 4(i2(t) − i1(t)) +
1
0.25
Z t
0
i2(τ ) dτ = 0.
Derivando esta última ecuación y sustituyendo en ella la expresiónde i01(t) dada en la primera,
nos queda un sistema de ecuaciones diferenciales
i01(t) = −4i1(t) + 4i2(t) + 12sen (100t)
i02(t) = −1.6i1(t) + 1.2i2(t) + 4.8sen (100t)
2 Lección 2. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales
que podemos escribir de forma matricial como
∙
i01(t)
i02(t)
¸
=
∙
−4 4
−1.6 1.2
¸ ∙
i1(t)
i2(t)
¸
+
∙
12sen (100t)
4.8sen (100t)
¸
.
Este es un ejemplo típicode un sistema lineal de ecuaciones diferenciales de dimensión dos con
coeficientes constantes. Sus incógnitas son i1(t) e i2(t). Si consideramos la función vectorial
i(t) =
∙
i1(t)
i2(t)
¸
, la matriz A =
∙
−4 4
−1.6 1.2
¸
y el vector f (t) =
∙
12sen (100t)
4.8sen (100t)
¸
, entonces el
sistema se escribe abreviadamente como i0(t) = Ai(t) + f (t).
Veamos otro ejemplo. Si en laecuación lineal de segundo orden
y00(t) + p(t)y0(t) + q(t)y(t) = r(t)
ponemos y1(t) = y(t) e y2(t) = y0(t), entonces y01
(t) = y2(t) y resolver la ecuación es equivalente
a resolver el sistema de ecuaciones diferenciales
y01
(t) = y2(t)
y02
(t) = −q(t)y1(t) − p(t)y2(t) + r(t)
cuya forma matricial es
∙
y01
(t)
y02
(t)
¸
=
∙
0 1
−q(t) −p(t)
¸ ∙
y1(t)
y2(t)
¸
+
∙
0
r(t)
¸
.Observemos que, en este caso, la matriz de los coeficientes no es constante.
En esta lección estudiaremos en primer lugar la teoría de los sistemas lineales con coeficientes
constantes, completándola con los métodos para resolver sistemas no homogéneos. Después
estudiaremos una breve introducción a la teoría cualitativa de sistemas no lineales.
Definiciones. Un sistema lineal de orden n concoeficientes constantes es un sistema de ecuaciones
diferenciales de la forma
y01
= a11y1 + a12y2 + · · · + a1nyn + f1(t)
y02
= a21y1 + a22y2 + · · · + a2nyn + f2(t)
...
y0n
= an1y1 + an2y2 + · · · + annyn + fn(t)
en el que A = [aij ] es una matriz de números reales cuadrada de orden n que se llama matriz de
los coeficientes y fi : [a, b] → R (i = 1, 2, . . . , n) son funciones continuasdadas. Se dice que el
sistema es homogéneo cuando todas las funciones fi son iguales a la función cero.
Una solución de dicho sistema es una colección y1, y2, . . . , yn de funciones de clase C1([a, b])
tales que para cada t ∈ [a, b] se verifica
y01
(t) =a11y1(t) + a12y2(t) + · · · + a1nyn(t) + f1(t)
y02
(t) =a21y1(t) + a22y2(t) + · · · + a2nyn(t) + f2(t)
...
y0n
(t) =an1y1(t) +an2y2(t) + · · · + annyn(t) + fn(t).
Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11 3
Si introducimos las funciones vectoriales y, f : [a, b] → Rn dadas por
y(t) =
⎡
⎢⎢⎢⎣
y1(t)
y2(t)
...
yn(t)
⎤
⎥⎥⎥⎦
y f (t) =
⎡
⎢⎢⎢⎣
f1(t)
f2(t)
...
fn(t)
⎤
⎥⎥⎥⎦
,
entonces el sistema se escribe de forma abreviada como y0(t) = Ay(t) + f (t), cuya estructura
es la mismaque la de una ecuación lineal de primer orden. De hecho, la teoría de los sistemas
lineales es, como cabe esperar, una extensión de las teorías de las ecuaciones lineales de primer
y segundo orden. Esto se pone de manifiesto en los siguientes resultados.
Teorema de existencia y unicidad. Sean A = [aij ] una matriz cuadrada de orden n y
f : [a, b] → Rn (i = 1, 2, . . . , n) una función...